Resolva a equação 2 log 10 x=1+log 10(x+1110). O conjunto solução de todos os valores reais é: 10

Passo 1

Então, a gente tem a equação 2 log10 x = 1 + log10(x + 1110). Aqui, estamos trabalhando com logaritmos na base 10. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas propriedades dos logaritmos e álgebra básica.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação usando a propriedade que permite multiplicar o logaritmo por um número. Lembra que a logb c = logb c^a. Então, podemos reescrever 2 log10 x como log10 x^2:
log10 x^2 = 1 + log10(x + 1110)

Passo 3

Agora, vamos isolar os logaritmos. Subtraímos log10(x + 1110) de ambos os lados:
log10 x^2 - log10(x + 1110) = 1

Passo 4

Usamos a propriedade dos logaritmos que diz que logb A - logb B = logb (AB). Aplicando isso aqui:
log10 (x^2x + 1110) = 1

Passo 5

Agora, vamos eliminar o logaritmo. Sabemos que se log10 Y = 1, então Y = 10^1 = 10. Então:
x^2x + 1110 = 10

Passo 6

Multiplicamos ambos os lados por (x + 1110) para eliminar a fração:
x^2 = 10(x + 1110)

Passo 7

Distribuímos o 10 dentro do parêntese:
x^2 = 10x + 11

Passo 8

Levo todos os termos para um lado da equação para formar uma equação quadrática:
x^2 - 10x - 11 = 0

Passo 9

Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara, onde a = 1, b = -10 e c = -11:
x = -b pm raizb^2 - 4ac2a = 10 pm raiz100 + 442 = 10 pm raiz1442

Passo 10

Calculamos a raiz quadrada de 144:
x = 10 pm 122

Passo 11

Isso nos dá duas soluções possíveis:
  1. x = 10 + 122 = 222 = 11
  2. x = 10 - 122 = -22 = -1

Passo 12

Mas precisamos verificar se essas soluções são válidas no contexto dos logaritmos, já que o logaritmo de um número negativo não existe. Então, x = -1 não é válido.

Resposta

10

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