Resolva a equação
. O conjunto solução de todos os valores reais é:
Passo 1
Então, a gente tem a equação
. Aqui, estamos trabalhando com logaritmos na base 10. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas propriedades dos logaritmos e álgebra básica.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação usando a propriedade que permite multiplicar o logaritmo por um número. Lembra que
. Então, podemos reescrever
como
:
Passo 3
Agora, vamos isolar os logaritmos. Subtraímos
de ambos os lados:
Passo 4
Usamos a propriedade dos logaritmos que diz que
. Aplicando isso aqui:
Passo 5
Agora, vamos eliminar o logaritmo. Sabemos que se
, então
. Então:
Passo 6
Multiplicamos ambos os lados por
para eliminar a fração:
Passo 7
Distribuímos o 10 dentro do parêntese:
Passo 8
Levo todos os termos para um lado da equação para formar uma equação quadrática:
Passo 9
Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara, onde
,
e
:
Passo 10
Calculamos a raiz quadrada de 144:
Passo 11
Isso nos dá duas soluções possíveis:
Passo 12
Mas precisamos verificar se essas soluções são válidas no contexto dos logaritmos, já que o logaritmo de um número negativo não existe. Então,
não é válido.
Resposta
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. Determine:
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e
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