Resolva a equação . O conjunto solução de todos os valores reais é:

Passo 1

Entendendo o problema:
Temos que resolver a equação .
Matéria envolvida:
  • Logaritmos: Propriedades e manipulações.
  • Equações exponenciais: Resolver equações que envolvem logaritmos.
  • Álgebra básica: Manipulação de expressões algébricas.
O que precisamos:
  • Aplicar propriedades dos logaritmos para simplificar a equação.
  • Transformar a equação logarítmica em uma equação algébrica.
  • Resolver a equação resultante para encontrar o valor de .

Passo 2

Reescrever a equação utilizando propriedades dos logaritmos:
A equação dada é:
Podemos utilizar a propriedade que diz que . Aplicando isso ao termo :

Passo 3

Isolar os termos com logaritmos em um lado da equação:
Subtraindo de ambos os lados:

Passo 4

Aplicar a propriedade da divisão de logaritmos:
A propriedade pode ser aplicada:

Passo 5

Converter a equação logarítmica para uma equação exponencial:
Sabemos que é equivalente a . Aplicando isso:

Passo 6

Resolver a equação algébrica resultante:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar o denominador:
Reorganizando os termos para formar uma equação quadrática:

Passo 7

Resolver a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Onde , , e :
Assim, temos duas soluções:

Passo 8

Verificar as soluções no contexto da equação original:
Como estamos lidando com logaritmos, precisa ser positivo.
  • é válido.
  • não é válido, pois o logaritmo de um número negativo não está definido.

Resposta

A solução da equação é .

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