Resolva a equação
. O conjunto solução de todos os valores reais é:
Passo 1
Entendendo o problema:
Temos que resolver a equação
.
Matéria envolvida:
- Logaritmos: Propriedades e manipulações.
- Equações exponenciais: Resolver equações que envolvem logaritmos.
- Álgebra básica: Manipulação de expressões algébricas.
O que precisamos:
- Aplicar propriedades dos logaritmos para simplificar a equação.
- Transformar a equação logarítmica em uma equação algébrica.
- Resolver a equação resultante para encontrar o valor de
.
Passo 2
Reescrever a equação utilizando propriedades dos logaritmos:
A equação dada é:
Podemos utilizar a propriedade que diz que
. Aplicando isso ao termo
:
Passo 3
Isolar os termos com logaritmos em um lado da equação:
Subtraindo
de ambos os lados:
Passo 4
Aplicar a propriedade da divisão de logaritmos:
A propriedade
pode ser aplicada:
Passo 5
Converter a equação logarítmica para uma equação exponencial:
Sabemos que
é equivalente a
. Aplicando isso:
Passo 6
Resolver a equação algébrica resultante:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Reorganizando os termos para formar uma equação quadrática:
Passo 7
Resolver a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
, e
:
Assim, temos duas soluções:
Passo 8
Verificar as soluções no contexto da equação original:
Como estamos lidando com logaritmos,
precisa ser positivo.
-
é válido. -
não é válido, pois o logaritmo de um número negativo não está definido.
Resposta
A solução da equação é
.
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definida por
. Marque a opção que expressa o valor de
:
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. Determine:
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