Resolva a equação 2 log 10 x=1+log 10(x+1110). O conjunto solução de todos os valores reais é: 5,6

Passo 1

Entendendo o problema:
Temos que resolver a equação .
Matéria envolvida:
  • Logaritmos: Propriedades e manipulações.
  • Equações exponenciais: Resolver equações que envolvem logaritmos.
  • Álgebra básica: Manipulação de expressões algébricas.
O que precisamos:
  • Aplicar propriedades dos logaritmos para simplificar a equação.
  • Transformar a equação logarítmica em uma equação algébrica.
  • Resolver a equação resultante para encontrar o valor de .

Passo 2

Reescrever a equação utilizando propriedades dos logaritmos:
A equação dada é:
2 log10 x = 1 + log10(x + 1110)
Podemos utilizar a propriedade que diz que log10 x^2 = 1 + log10(x + 1110) . Aplicando isso ao termo :

Passo 3

Isolar os termos com logaritmos em um lado da equação:
Subtraindo log10 x^2 - log10(x + 1110) = 1 de ambos os lados:

Passo 4

Aplicar a propriedade da divisão de logaritmos:
A propriedade log10 ( x^2x + 1110 ) = 1 pode ser aplicada:

Passo 5

Converter a equação logarítmica para uma equação exponencial:
Sabemos que x^2x + 1110 = 10^1 é equivalente a x^2x + 1110 = 10 . Aplicando isso:

Passo 6

Resolver a equação algébrica resultante:
Multiplicando ambos os lados por x^2 = 10(x + 1110) para eliminar o denominador:
x^2 = 10x + 11
x^2 - 10x - 11 = 0
Reorganizando os termos para formar uma equação quadrática:

Passo 7

Resolver a equação quadrática:
Usando a fórmula de Bhaskara:
x = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Onde x = 10 pm raiz(-10)^2 - 4(1)(-11)2 , x = 10 pm raiz100 + 442 , e x = 10 pm raiz1442 :
x = 10 pm 122
x = 10 + 122 = 11
x = 10 - 122 = -1
Assim, temos duas soluções:

Passo 8

Verificar as soluções no contexto da equação original:
Como estamos lidando com logaritmos, precisa ser positivo.
  • é válido.
  • não é válido, pois o logaritmo de um número negativo não está definido.

Resposta

A solução da equação é .

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