Resolva as Equação de Ricatti
Dar a solução geral da equação sabendo que é solução particular.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma Equação de Riccati, que é um tipo específico de equação diferencial não linear. A equação dada é:
E a gente sabe que uma solução particular dessa equação é . Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação usando essa solução conhecida.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma solução particular. É uma função que satisfaz a equação diferencial específica, sem considerar a uniformidade de constantes de integração. Como já sabemos que é uma solução, vamos usá-la para simplificar a equação.

Passo 3

Agora, fazemos uma mudança de variável para transformar a equação de Riccati em uma equação linear, que é mais fácil de resolver. Vamos definir:
Substituindo , temos:

Passo 4

Vamos substituir essa expressão de na equação original:
Calculando as derivadas e simplificando:

Passo 5

Simplificando ainda mais:
Agrupando termos semelhantes:
Simplificando:

Passo 6

Multiplicando toda a equação por para eliminar os denominadores:
Isolando :

Passo 7

Agora temos uma equação diferencial linear de primeira ordem:
Podemos resolver essa equação usando o método dos fatores integrantes ou reconhecendo que é uma equação homogênea linear. A solução geral dessa equação é:
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Lembrando que , substituímos :
Simplificando, temos a solução geral da equação de Riccati dada.

Resposta

A solução geral da equação é:
Onde é uma constante arbitrária.

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