Resolva as Equação de Ricatti
Dar a solução geral da equação
sabendo que
é solução particular.
Dar a solução geral da equação
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma Equação de Riccati, que é um tipo específico de equação diferencial não linear. A equação dada é:
E a gente sabe que uma solução particular dessa equação é
. Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação usando essa solução conhecida.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma solução particular. É uma função que satisfaz a equação diferencial específica, sem considerar a uniformidade de constantes de integração. Como já sabemos que
é uma solução, vamos usá-la para simplificar a equação.
Passo 3
Agora, fazemos uma mudança de variável para transformar a equação de Riccati em uma equação linear, que é mais fácil de resolver. Vamos definir:
Substituindo
, temos:
Passo 4
Vamos substituir essa expressão de
na equação original:
Calculando as derivadas e simplificando:
Passo 5
Simplificando ainda mais:
Agrupando termos semelhantes:
Simplificando:
Passo 6
Multiplicando toda a equação por
para eliminar os denominadores:
Isolando
:
Passo 7
Agora temos uma equação diferencial linear de primeira ordem:
Podemos resolver essa equação usando o método dos fatores integrantes ou reconhecendo que é uma equação homogênea linear. A solução geral dessa equação é:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Lembrando que
, substituímos
:
Simplificando, temos a solução geral da equação de Riccati dada.
Resposta
A solução geral da equação é:
Onde
é uma constante arbitrária.
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Sabendo que é solução particular da equação
calcular a sua solução geral.
Sabendo que
Resolva as Equação de Ricatti
Verificar se é solução particular da equação
. Em caso afirmativo, calcular a solução geral
Verificar se
Resolver as seguintes equações diferenciais de variáveis separáveis.
Resolver as seguintes equações diferenciais de variáveis separáveis.
sen
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