Resolva as Equação de Ricatti
Verificar se é solução particular da equação . Em caso afirmativo, calcular a solução geral

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a equação diferencial:
E precisamos verificar se a função é uma solução particular dessa equação. Se for, também teremos que encontrar a solução geral da equação de Riccati. Para isso, vamos precisar de conhecimentos sobre equações diferenciais ordinárias, especialmente sobre equações de Riccati e métodos para resolver equações não lineares.

Passo 2

Vamos começar verificando se é uma solução particular da equação dada. Para isso, substituímos na equação e verificamos se a igualdade é verdadeira.
Primeiro, calculamos a derivada de em relação a :
Agora, substituímos e na equação original:
Portanto, a igualdade se mantém, confirmando que é de fato uma solução particular da equação.

Passo 3

Agora que sabemos que é uma solução particular, podemos usar esse conhecimento para encontrar a solução geral da equação de Riccati dada. A equação de Riccati geral tem a forma:
No nosso caso:
Podemos reescrever isso como:
Para resolver a equação de Riccati, fazemos uma substituição que simplifica a equação usando a solução particular que encontramos . Introduzimos uma nova função tal que:
Substituindo na equação original e simplificando, conseguimos transformar a equação de Riccati em uma equação linear que é mais fácil de resolver.

Passo 4

Após a substituição e simplificação, a equação se torna uma equação diferencial linear em termos de . Resolvendo essa equação linear, encontramos , e então podemos expressar a solução geral utilizando a relação estabelecida:

Resposta

A solução geral da equação diferencial dada é:
Onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Resolva as equações homogêneas abaixo:
Determine a solução de sujeita a condição inicial .
Resolva as equações homogêneas abaixo:
Resolva as Equação de Ricatti
Sabendo que é solução particular da equação calcular a sua solução geral.
Resolva as Equação de Ricatti
Dar a solução geral da equação sabendo que é solução particular.