Resolva as Equação de Ricatti
Verificar se
é solução particular da equação
. Em caso afirmativo, calcular a solução geral
Verificar se
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a equação diferencial:
E precisamos verificar se a função
é uma solução particular dessa equação. Se for, também teremos que encontrar a solução geral da equação de Riccati. Para isso, vamos precisar de conhecimentos sobre equações diferenciais ordinárias, especialmente sobre equações de Riccati e métodos para resolver equações não lineares.
Passo 2
Vamos começar verificando se
é uma solução particular da equação dada. Para isso, substituímos
na equação e verificamos se a igualdade é verdadeira.
Primeiro, calculamos a derivada de
em relação a
:
Agora, substituímos
e
na equação original:
Portanto, a igualdade se mantém, confirmando que
é de fato uma solução particular da equação.
Passo 3
Agora que sabemos que
é uma solução particular, podemos usar esse conhecimento para encontrar a solução geral da equação de Riccati dada. A equação de Riccati geral tem a forma:
No nosso caso:
Podemos reescrever isso como:
Para resolver a equação de Riccati, fazemos uma substituição que simplifica a equação usando a solução particular que encontramos
. Introduzimos uma nova função
tal que:
Substituindo
na equação original e simplificando, conseguimos transformar a equação de Riccati em uma equação linear que é mais fácil de resolver.
Passo 4
Após a substituição e simplificação, a equação se torna uma equação diferencial linear em termos de
. Resolvendo essa equação linear, encontramos
, e então podemos expressar a solução geral
utilizando a relação estabelecida:
Resposta
A solução geral da equação diferencial dada é:
Onde
é a constante de integração.
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Resolva as equações homogêneas abaixo:
Determine a solução de sujeita a condição inicial
.
Determine a solução de
Resolva as equações homogêneas abaixo:
Resolva as Equação de Ricatti
Sabendo que é solução particular da equação
calcular a sua solução geral.
Sabendo que
Resolva as Equação de Ricatti
Dar a solução geral da equação sabendo que
é solução particular.
Dar a solução geral da equação