Resolva as Equação de Ricatti
Sabendo que y = 1 é solução particular da equação d y/d x + (2 x - 1) y - x y^2 = x - 1 calcular a sua solução geral.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos uma Equação de Riccati, que é um tipo especial de equação diferencial. O enunciado nos dá que é uma solução particular dessa equação. Vamos usar essa informação para encontrar a solução geral da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação dada de uma maneira mais padrão. A equação que temos é:
Podemos reorganizar os termos para deixá-la na forma típica da Equação de Riccati:
Aqui, identificamos os coeficientes que vamos precisar para os próximos passos.

Passo 3

A Equação de Riccati é da forma geral:
Sabemos que é uma solução particular. Quando temos uma solução específica, podemos simplificar a equação usando uma substituição. Neste caso, vamos usar a solução particular para encontrar a solução geral.

Passo 4

Vamos fazer a substituição , onde é uma nova função de que precisamos determinar. Substituindo na equação original:
Agora, calculamos a derivada de em relação a :
Substituímos e na equação original:
Simplificando essa equação, chegamos a uma equação linear em .

Passo 5

Após simplificar, obtemos uma equação linear para :
Essa é uma equação linear que podemos resolver usando o fator integrante. O fator integrante é dado por:
Multiplicamos toda a equação por :
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados:
Resolvendo a integral, encontramos e, consequentemente, .

Passo 6

Finalmente, substituímos de volta na expressão para :
Após resolver as integrais e simplificar, obtemos a solução geral da equação diferencial.

Resposta

A solução geral da equação é:
Onde é a constante de integração.

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