Resolva as Equação de Ricatti
Sabendo que
é solução particular da equação
calcular a sua solução geral.
Sabendo que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos uma Equação de Riccati, que é um tipo especial de equação diferencial. O enunciado nos dá que
é uma solução particular dessa equação. Vamos usar essa informação para encontrar a solução geral da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação dada de uma maneira mais padrão. A equação que temos é:
Podemos reorganizar os termos para deixá-la na forma típica da Equação de Riccati:
Aqui, identificamos os coeficientes que vamos precisar para os próximos passos.
Passo 3
A Equação de Riccati é da forma geral:
Sabemos que
é uma solução particular. Quando temos uma solução específica, podemos simplificar a equação usando uma substituição. Neste caso, vamos usar a solução particular
para encontrar a solução geral.
Passo 4
Vamos fazer a substituição
, onde
é uma nova função de
que precisamos determinar. Substituindo na equação original:
Agora, calculamos a derivada de
em relação a
:
Substituímos
e
na equação original:
Simplificando essa equação, chegamos a uma equação linear em
.
Passo 5
Após simplificar, obtemos uma equação linear para
:
Essa é uma equação linear que podemos resolver usando o fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Multiplicamos toda a equação por
:
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados:
Resolvendo a integral, encontramos
e, consequentemente,
.
Passo 6
Finalmente, substituímos
de volta na expressão para
:
Após resolver as integrais e simplificar, obtemos a solução geral da equação diferencial.
Resposta
A solução geral da equação é:
Onde
é a constante de integração.
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Verificar se é solução particular da equação
. Em caso afirmativo, calcular a solução geral
Verificar se
Resolva as equações homogêneas abaixo:
Determine a solução de sujeita a condição inicial
.
Determine a solução de
Resolva as Equação de Ricatti
Dar a solução geral da equação sabendo que
é solução particular.
Dar a solução geral da equação
Resolver as seguintes equações diferenciais de variáveis separáveis.