Resolva as equações homogêneas abaixo:
Determine a solução de sujeita a condição inicial .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação diferencial e a condição inicial . Essa é uma equação homogênea, ou seja, todas as parcelas têm o mesmo grau. Para resolver, vamos precisar usar a substituição , onde é uma função de .

Passo 2

Primeiro, fazemos a substituição . Assim, a derivada de em relação a fica . Vamos substituir isso na equação original:

Passo 3

Vamos simplificar os termos:
Fatorando :
Simplificando dentro dos colchetes:

Passo 4

Vamos rearranjar para separar as variáveis e :
Isso leva a:

Passo 5

Agora, separamos as variáveis:
Integrando os dois lados:

Passo 6

Resolvendo as integrais:
À esquerda, fazemos , então , e o integral fica:

Passo 7

Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Lembrando que , substituímos de volta:
Multiplicando por :

Passo 9

Aplicamos a condição inicial para encontrar :

Passo 10

Substituindo de volta na equação:
Finalmente, tiramos a raiz para encontrar :

Resposta

A solução da equação diferencial é .

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