Resolva as equações homogêneas abaixo:
Determine a solução de
sujeita a condição inicial
.
Determine a solução de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação diferencial
e a condição inicial
. Essa é uma equação homogênea, ou seja, todas as parcelas têm o mesmo grau. Para resolver, vamos precisar usar a substituição
, onde
é uma função de
.
Passo 2
Primeiro, fazemos a substituição
. Assim, a derivada de
em relação a
fica
. Vamos substituir isso na equação original:
Passo 3
Vamos simplificar os termos:
Fatorando
:
Simplificando dentro dos colchetes:
Passo 4
Vamos rearranjar para separar as variáveis
e
:
Isso leva a:
Passo 5
Agora, separamos as variáveis:
Integrando os dois lados:
Passo 6
Resolvendo as integrais:
À esquerda, fazemos
, então
, e o integral fica:
Passo 7
Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Lembrando que
, substituímos de volta:
Multiplicando por
:
Passo 9
Aplicamos a condição inicial
para encontrar
:
Passo 10
Substituindo
de volta na equação:
Finalmente, tiramos a raiz para encontrar
:
Resposta
A solução da equação diferencial é
.
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Resolva as Equação de Ricatti
Verificar se é solução particular da equação
. Em caso afirmativo, calcular a solução geral
Verificar se
Resolva as Equação de Ricatti
Sabendo que é solução particular da equação
calcular a sua solução geral.
Sabendo que