Resolva as equações homogêneas abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente resolver uma equação diferencial homogênea. Isso está na área de Cálculo Diferencial, mais especificamente nas equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver esse tipo de equação, vamos precisar identificar se ela é homogênea e, se for, aplicar a substituição adequada para simplificar e resolver.

Passo 2

Primeiro, observe a equação dada:
Vamos reescrever para facilitar a visualização:

Passo 3

A equação é do tipo:
Onde:
Para identificar se a equação é homogênea, verificamos se existe um grau comum nas funções e . Observando, tanto quanto são funções de primeiro grau em e , então a equação é homogênea.

Passo 4

Como a equação é homogênea, podemos aplicar a substituição . Então, . Vamos derivar ambos os lados em relação a :

Passo 5

Substituindo e na equação original:
Simplificando os termos:

Passo 6

Vamos distribuir o lado direito:
Simplificando:

Passo 7

Levamos todos os termos que não contêm para o lado esquerdo:
Simplificando:

Passo 8

Agora, isolamos :
Podemos simplificar essa fração dividindo o numerador e denominador por 2:

Passo 9

Vamos separar as variáveis e :

Passo 10

Integrando ambos os lados:
Para resolver a integral do lado esquerdo, podemos simplificar a fração. Primeiro, fatoramos o denominador:
Então, reescrevemos a integral:
Simplificando:

Passo 11

Vamos decompor a fração em frações parciais:
Multiplicando ambos os lados por :
Explicando os termos:
Agrupando os termos semelhantes:
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo:
Da segunda equação:
Substituindo na primeira:
Então,

Passo 12

Substituindo os valores de e na integral:
Integrando:

Passo 13

Substituindo :
Simplificando:
Podemos combinar os logaritmos:
Onde é uma constante.
Simplificando ainda mais:
Removendo o logaritmo:
Onde é uma constante.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

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