Resolva a equação, sabendo que y1(x) = sen(x) é uma solução
d/y dx = cot(x) y^2 csc(x) - y + sen(x)

Passo 1

Estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem:
Sabemos que é uma solução dessa equação. Nosso objetivo é encontrar a solução geral dessa equação diferencial. Para isso, vamos usar o método da variação da constante, que nos ajuda a encontrar soluções adicionais quando já conhecemos uma solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos confirmar que é realmente uma solução da equação. Calculamos a derivada de :
y1(x)
Agora, substituímos e y1 na equação original:
Simplificando:
Sabemos que e , então:
Isso confirma que satisfaz a equação diferencial.

Passo 3

Para encontrar a solução geral, assumimos uma solução da forma:
onde é uma função que vamos determinar. Vamos substituir v(x) e sua derivada na equação original.
Primeiro, encontramos a derivada de y(x):

Passo 4

Substituindo y(x) e d/y d/x na equação diferencial:
Simplificamos o lado direito:
Então, a equação fica:

Passo 5

Vamos reorganizar a equação para isolar :
Simplificando os termos com :

Passo 6

Essa equação é um pouco complicada, então vamos tentar simplificar. Observando a estrutura, parece difícil resolver diretamente. Vamos tentar outra abordagem usando a solução conhecida .
Podemos usar a fórmula para a solução geral quando uma solução particular é conhecida. A solução geral é dada por:
onde é o coeficiente de na equação original.

Passo 7

Na equação original:
Comparando com nossa equação:
Rearranjando:
Então, e .

Passo 8

Agora, aplicamos a fórmula da solução geral:
Essa integral é complexa, indicando que talvez precisemos reconsiderar nossa abordagem inicial.

Passo 9

Vamos voltar ao passo 3 e tentar outra substituição. Considerando a solução particular , vamos definir .
Então, .
Calculamos a derivada:
Substituindo na equação original:
Essa forma ainda é complicada, mas nos leva a uma equação de Bernoulli.

Passo 10

A equação resultante é:
Para resolver, podemos tentar linearizar ou aplicar substituições adicionais, mas a complexidade sugere que a solução geral pode não ser expressa em termos de funções elementares.

Resposta

A equação diferencial dada possui como solução particular, mas a complexidade para encontrar a solução geral indica que ela pode não ser expressa de forma simples em termos de funções elementares. Portanto, a solução geral não pode ser determinada de forma explícita com os métodos usuais.

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