Resolva as equações usando o método de variação dos parâmetros:
y'' + 6y' + 9y = e^(-3x) / x^3
R: y = (1/(2 x) + c1 + c2 x) e^(-3 x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando o método de variação dos parâmetros. A equação que temos é:
Vamos precisar entender como resolver equações diferenciais lineares de segunda ordem e aplicar o método de variação dos parâmetros para encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, encontramos as raízes características da equação característica:
Resolvendo a equação quadrática:
Como temos uma raiz dupla , a solução geral da equação homogênea é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa usando o método de variação dos parâmetros. Sabemos que a solução homogênea é:
Primeiro, calculamos as derivadas de :
Agora, aplicamos o método de variação dos parâmetros, onde as constantes e são substituídas por funções e :
Derivamos e substituímos na equação diferencial para encontrar e .

Passo 4

Após realizar os cálculos e integrações necessárias, obtemos as funções e . Substituindo esses valores na expressão de , encontramos a solução particular.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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