Seja F(x, y, z) = (3 x^2 z + y^3, 3 x y^2 + e^z, x^3 + y e^z).
F é conservativo? Por quê?

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado nos apresenta um campo vetorial e nos pergunta se esse campo é conservativo. Isso está relacionado ao estudo de campos vetoriais na matéria de Cálculo Vetorial. Para resolver, vamos precisar entender o que significa um campo ser conservativo e quais são os critérios para identificar isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um campo conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existir uma função escalar tal que , onde é o gradiente de . Em outras palavras, é o gradiente de alguma função potencial.

Passo 3

Uma propriedade importante de campos conservativos é que eles são campos irrotacionais. Isso significa que a rotacional de , denotada por , deve ser igual a zero. Então, para verificar se é conservativo, vamos calcular a rotacional de .

Passo 4

Vamos calcular cada componente da rotacional:
Onde:

Passo 5

Calculando as derivadas parciais:

Passo 6

Substituindo na fórmula da rotacional:
Isso mostra que a rotacional de é zero.

Passo 7

Como a rotacional de é zero, podemos concluir que é um campo conservativo.

Resposta

Sim, o campo vetorial é conservativo porque sua rotacional é igual a zero.

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