Seja
.
é conservativo? Por quê?
Passo 1
Então, vamos lá! O enunciado nos apresenta um campo vetorial
e nos pergunta se esse campo é conservativo. Isso está relacionado ao estudo de campos vetoriais na matéria de Cálculo Vetorial. Para resolver, vamos precisar entender o que significa um campo ser conservativo e quais são os critérios para identificar isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um campo conservativo. Um campo vetorial
é conservativo se existir uma função escalar
tal que
, onde
é o gradiente de
. Em outras palavras,
é o gradiente de alguma função potencial.
Passo 3
Uma propriedade importante de campos conservativos é que eles são campos irrotacionais. Isso significa que a rotacional de
, denotada por
, deve ser igual a zero. Então, para verificar se
é conservativo, vamos calcular a rotacional de
.
Passo 4
Vamos calcular cada componente da rotacional:
Onde:
Passo 5
Calculando as derivadas parciais:
Passo 6
Substituindo na fórmula da rotacional:
Isso mostra que a rotacional de
é zero.
Passo 7
Como a rotacional de
é zero, podemos concluir que
é um campo conservativo.
Resposta
Sim, o campo vetorial
é conservativo porque sua rotacional é igual a zero.