Então, vamos lá! O enunciado nos apresenta um campo vetorial e nos pergunta se esse campo é conservativo. Isso está relacionado ao estudo de campos vetoriais na matéria de Cálculo Vetorial. Para resolver, vamos precisar entender o que significa um campo ser conservativo e quais são os critérios para identificar isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um campo conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existir uma função escalar tal que , onde é o gradiente de . Em outras palavras, é o gradiente de alguma função potencial.
Passo 3
Uma propriedade importante de campos conservativos é que eles são campos irrotacionais. Isso significa que a rotacional de , denotada por , deve ser igual a zero. Então, para verificar se é conservativo, vamos calcular a rotacional de .
Passo 4
Vamos calcular cada componente da rotacional:
Onde:
Passo 5
Calculando as derivadas parciais:
Passo 6
Substituindo na fórmula da rotacional:
Isso mostra que a rotacional de é zero.
Passo 7
Como a rotacional de é zero, podemos concluir que é um campo conservativo.
Resposta
Sim, o campo vetorial é conservativo porque sua rotacional é igual a zero.