Seja .
é conservativo? Por quê?

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado nos apresenta um campo vetorial e nos pergunta se esse campo é conservativo. Isso está relacionado ao estudo de campos vetoriais na matéria de Cálculo Vetorial. Para resolver, vamos precisar entender o que significa um campo ser conservativo e quais são os critérios para identificar isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um campo conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existir uma função escalar tal que , onde é o gradiente de . Em outras palavras, é o gradiente de alguma função potencial.

Passo 3

Uma propriedade importante de campos conservativos é que eles são campos irrotacionais. Isso significa que a rotacional de , denotada por , deve ser igual a zero. Então, para verificar se é conservativo, vamos calcular a rotacional de .

Passo 4

Vamos calcular cada componente da rotacional:
Onde:

Passo 5

Calculando as derivadas parciais:

Passo 6

Substituindo na fórmula da rotacional:
Isso mostra que a rotacional de é zero.

Passo 7

Como a rotacional de é zero, podemos concluir que é um campo conservativo.

Resposta

Sim, o campo vetorial é conservativo porque sua rotacional é igual a zero.

Exercícios relacionados

Resolva equaçãoes com variaveis separaveis:
c) ,
Resolva equaçãoes exatos:
b) .
d) .
Verifique o Teorema de Stokes, calculando a integral de linha e a integral de superfície para o campo e a superfície , tal que
é a parte do paraboloide interior ao cilindro , sendo tal que .
Use o Teorema de Stokes para calcular , onde
e é a interseção do cilindro com o plano , sendo , orientada no sentido anti-horário quando vista da parte superior do eixo .