Resolva equaçãoes exatos:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial do tipo exato, que precisa ser resolvida. A equação é:
Vamos usar conceitos de equações diferenciais exatas para resolver isso. Precisaremos reorganizar a equação, identificar as funções envolvidas e, se necessário, encontrar um fator integrante para torná-la exata.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixá-la na forma padrão das equações diferenciais exatas, que é . Vamos fazer isso passo a passo:
Começamos com:
Dividindo ambos os lados por :
Agora, isolando :
Multiplicamos ambos os lados por :
Rearranjando para a forma exata:
Aqui, identificamos:

Passo 3

Agora, vamos verificar se a equação é exata. Para isso, precisamos checar se:
Calculando as derivadas parciais:
Como , a equação não é exata. Então, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata.

Passo 4

Vamos tentar encontrar um fator integrante que dependa apenas de . O fator integrante deve satisfazer:
Integrando ambos os lados em relação a :
A integral do lado direito é:
Portanto, o fator integrante é:

Passo 5

Multiplicamos a equação original pelo fator integrante :
Simplificando:
Agora, a equação é exata.

Passo 6

Como a equação é exata, existe uma função tal que:
Primeiro, integramos em relação a :
A integral pode ser resolvida term por term:
Portanto,

Passo 7

Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Isso implica que:
Mas como é função de apenas, a única forma de isso ser válido é que o termo envolvendo seja zero, o que nos leva a:

Passo 8

Finalmente, a solução geral da equação é . Então:
Podemos reorganizar para expressar :

Resposta

A solução geral da equação é:
onde é uma constante arbitrária.

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