Resolva equaçãoes exatos:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial do tipo exato, que precisa ser resolvida. A equação é:
Vamos usar conceitos de equações diferenciais exatas para resolver isso. Precisaremos reorganizar a equação, identificar as funções envolvidas e, se necessário, encontrar um fator integrante para torná-la exata.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixá-la na forma padrão das equações diferenciais exatas, que é
. Vamos fazer isso passo a passo:
Começamos com:
Dividindo ambos os lados por
:
Agora, isolando
:
Multiplicamos ambos os lados por
:
Rearranjando para a forma exata:
Aqui, identificamos:
Passo 3
Agora, vamos verificar se a equação é exata. Para isso, precisamos checar se:
Calculando as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata. Então, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata.
Passo 4
Vamos tentar encontrar um fator integrante que dependa apenas de
. O fator integrante
deve satisfazer:
Integrando ambos os lados em relação a
:
A integral do lado direito é:
Portanto, o fator integrante é:
Passo 5
Multiplicamos a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando:
Agora, a equação é exata.
Passo 6
Como a equação é exata, existe uma função
tal que:
Primeiro, integramos
em relação a
:
A integral pode ser resolvida term por term:
Portanto,
Passo 7
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso implica que:
Mas como
é função de
apenas, a única forma de isso ser válido é que o termo envolvendo
seja zero, o que nos leva a:
Passo 8
Finalmente, a solução geral da equação é
. Então:
Podemos reorganizar para expressar
:
Resposta
A solução geral da equação é:
onde
é uma constante arbitrária.
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