Resolva equaçãoes exatos:

Passo 1

Resumo do Enunciado e Conteúdo: Temos a equação diferencial . Vamos resolver essa equação utilizando o método de equações exatas. Para isso, precisaremos entender como transformar uma equação diferencial incompleta em exata utilizando um fator integrante.

Passo 2

Reescrevendo a Equação na Forma Diferencial: Primeiro, vamos escrever a equação na forma padrão de uma equação diferencial:
A equação dada é:
Sabendo que , podemos reescrever a equação como:
Aqui, identificamos:

Passo 3

Verificando se a Equação é Exata: Para saber se a equação é exata, verificamos se a derivada parcial de em relação a é igual à derivada parcial de em relação a :
Como , a equação não é exata.

Passo 4

Encontrando um Fator Integrante: Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata. Assumimos que depende apenas de . O fator deverá satisfazer:
Substituindo os valores:
Separando as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Podemos considerar para simplificar, então:

Passo 5

Multiplicando a Equação pelo Fator Integrante: Multiplicamos toda a equação original pelo fator :
Simplificando:
Agora, temos:
Verificamos novamente se a equação é exata:
Como são iguais, a equação agora é exata.

Passo 6

Encontrando a Solução Geral: Para uma equação exata, existe uma função tal que:
Integrando em relação a :
Derivando em relação a :
Igualando a :
Portanto, a função é:

Resposta

A solução geral da equação é:

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