Resolva equaçãoes exatos:
Passo 1
Resumo do Enunciado e Conteúdo: Temos a equação diferencial
. Vamos resolver essa equação utilizando o método de equações exatas. Para isso, precisaremos entender como transformar uma equação diferencial incompleta em exata utilizando um fator integrante.
Passo 2
Reescrevendo a Equação na Forma Diferencial: Primeiro, vamos escrever a equação na forma padrão de uma equação diferencial:
A equação dada é:
Sabendo que
, podemos reescrever a equação como:
Aqui, identificamos:
Passo 3
Verificando se a Equação é Exata: Para saber se a equação é exata, verificamos se a derivada parcial de
em relação a
é igual à derivada parcial de
em relação a
:
Como
, a equação não é exata.
Passo 4
Encontrando um Fator Integrante: Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante
que torne a equação exata. Assumimos que
depende apenas de
. O fator deverá satisfazer:
Substituindo os valores:
Separando as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Podemos considerar
para simplificar, então:
Passo 5
Multiplicando a Equação pelo Fator Integrante: Multiplicamos toda a equação original pelo fator
:
Simplificando:
Agora, temos:
Verificamos novamente se a equação é exata:
Como são iguais, a equação agora é exata.
Passo 6
Encontrando a Solução Geral: Para uma equação exata, existe uma função
tal que:
Integrando
em relação a
:
Derivando
em relação a
:
Igualando a
:
Portanto, a função
é:
Resposta
A solução geral da equação é:
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