Resolva equaçãoes com funcao homogenia ou quasi homogenia:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado nos dá a equação:
Estamos lidando com uma equação diferencial homogênea. Isso significa que as funções que multiplicam e têm o mesmo grau quando consideramos as variáveis e . Para resolver, vamos precisar usar a substituição , que simplifica a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos confirmar que a equação é homogênea. Observamos que:
  • é uma expressão de grau 2.
  • também é de grau 2.
Como ambos os termos são de mesmo grau, a equação é homogênea. Isso nos permite usar a substituição .

Passo 3

Vamos fazer a substituição . Então, . Agora, precisamos encontrar em termos de e :

Passo 4

Substituímos e na equação original:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos combinar os termos com :
Simplificando ainda mais:

Passo 6

Dividimos toda a equação por para simplificar:
Isso nos dá uma equação linear na forma:

Passo 7

Rearranjamos a equação para separar as variáveis:
Isso nos permite escrever:

Passo 8

Agora, vamos integrar ambos os lados. Primeiro, observamos que o lado esquerdo pode ser integrado por frações parciais:
Decompomos em frações parciais:
Então, a integral fica:

Passo 9

Integrando ambos os lados:
Onde é a constante de integração.

Passo 10

Podemos simplificar a expressão combinando os logaritmos:
Multiplicando ambos os lados por -1:
Onde ainda é uma constante.

Passo 11

Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Onde é uma nova constante.

Passo 12

Substituindo de volta :
Simplificando:

Passo 13

Rearranjando para encontrar a relação entre e :
Podemos reescrever a constante como apenas uma constante :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária.

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