Resolva equaçãoes com funcao homogenia ou quasi homogenia:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado nos dá a equação:
Estamos lidando com uma equação diferencial homogênea. Isso significa que as funções que multiplicam e têm o mesmo grau quando consideramos as variáveis e . Para resolver, vamos precisar usar a substituição , que simplifica a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos confirmar que a equação é homogênea. Observamos que:
é uma expressão de grau 2.
também é de grau 2.
Como ambos os termos são de mesmo grau, a equação é homogênea. Isso nos permite usar a substituição .
Passo 3
Vamos fazer a substituição . Então, . Agora, precisamos encontrar em termos de e :
Passo 4
Substituímos e na equação original:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos combinar os termos com :
Simplificando ainda mais:
Passo 6
Dividimos toda a equação por para simplificar:
Isso nos dá uma equação linear na forma:
Passo 7
Rearranjamos a equação para separar as variáveis:
Isso nos permite escrever:
Passo 8
Agora, vamos integrar ambos os lados. Primeiro, observamos que o lado esquerdo pode ser integrado por frações parciais:
Decompomos em frações parciais:
Então, a integral fica:
Passo 9
Integrando ambos os lados:
Onde é a constante de integração.
Passo 10
Podemos simplificar a expressão combinando os logaritmos:
Multiplicando ambos os lados por -1:
Onde ainda é uma constante.
Passo 11
Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Onde é uma nova constante.
Passo 12
Substituindo de volta :
Simplificando:
Passo 13
Rearranjando para encontrar a relação entre e :
Podemos reescrever a constante como apenas uma constante :