Resolva equaçãoes com funcao homogenia ou quasi homogenia:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse problema! A gente tem uma equação diferencial de primeira ordem que envolve funções homogêneas ou quase homogêneas. A equação é:
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais homogêneas e usar uma substituição que simplifique a expressão. Vamos lá passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar se a equação é homogênea. Uma função é homogênea se todos os termos têm o mesmo grau. Aqui, o lado direito da equação é:
Vamos verificar os graus:
No numerador, temos , que é de grau 2 (porque e são de grau 1 cada).
No denominador, temos , que também é de grau 2.
Como os graus são iguais, a equação é homogênea. Isso significa que podemos usar a substituição para simplificar.
Passo 3
Vamos fazer a substituição . Então, derivando ambos os lados em relação a , temos:
Agora, substituímos e na equação original:
Simplificando o denominador:
Então, temos:
Passo 4
Agora, vamos reorganizar a equação para isolar :
Podemos fatorar o numerador:
Então:
Passo 5
Vamos separar as variáveis e :
Agora, simplificamos o lado esquerdo:
Vamos decompor frações parciais:
Resolvendo para , , e , encontramos:
Então:
Passo 6
Agora, integramos ambos os lados:
Calculando as integrais:
Onde é a constante de integração.
Passo 7
Substituímos de volta na expressão:
Podemos simplificar, mas geralmente essa é a forma implícita da solução.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é dada implicitamente por: