Resolva equaçãoes com funcao homogenia ou quasi homogenia:

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse problema! A gente tem uma equação diferencial de primeira ordem que envolve funções homogêneas ou quase homogêneas. A equação é:
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais homogêneas e usar uma substituição que simplifique a expressão. Vamos lá passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar se a equação é homogênea. Uma função é homogênea se todos os termos têm o mesmo grau. Aqui, o lado direito da equação é:
Vamos verificar os graus:
  • No numerador, temos , que é de grau 2 (porque e são de grau 1 cada).
  • No denominador, temos , que também é de grau 2.
Como os graus são iguais, a equação é homogênea. Isso significa que podemos usar a substituição para simplificar.

Passo 3

Vamos fazer a substituição . Então, derivando ambos os lados em relação a , temos:
Agora, substituímos e na equação original:
Simplificando o denominador:
Então, temos:

Passo 4

Agora, vamos reorganizar a equação para isolar :
Podemos fatorar o numerador:
Então:

Passo 5

Vamos separar as variáveis e :
Agora, simplificamos o lado esquerdo:
Vamos decompor frações parciais:
Resolvendo para , , e , encontramos:
Então:

Passo 6

Agora, integramos ambos os lados:
Calculando as integrais:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Substituímos de volta na expressão:
Podemos simplificar, mas geralmente essa é a forma implícita da solução.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é dada implicitamente por:
Onde é a constante de integração.

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