Verifique o Teorema de Stokes, calculando a integral de linha e a integral de superfície para o campo F e a superfície S, tal que
F(x, y, z) = 2y i - z j + 3 k
S é a parte do paraboloide z = 4 - x^2 - y^2 interior ao cilindro x^2 + y^2 = 1, sendo n tal que n . k > 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício para verificar o Teorema de Stokes. Esse teorema faz a conexão entre a integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva fechada e a integral de superfície do rotacional desse campo sobre uma superfície que tem essa curva como borda.
No nosso caso, temos um campo vetorial dado por:
E a superfície S é a parte do paraboloide que está dentro do cilindro . A normal n está orientada para cima, ou seja, .
Para resolver isso, vamos calcular:
  1. A integral de linha de F ao longo da curva que é a interseção do paraboloide com o cilindro.
  2. A integral de superfície do rotacional de F sobre S.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a curva C que é a fronteira da superfície S. Essa curva é onde o paraboloide corta o cilindro .
Substituindo na equação do paraboloide:
Então, a curva C é o círculo de raio 1 no plano . Podemos parametrizar essa curva usando coordenadas polares:
onde theta varia de 0 a .

Passo 3

Vamos calcular a integral de linha de F ao longo de C. A integral de linha é dada por:
Primeiro, precisamos encontrar :
Agora, substituímos F na parametrização de C:
Calculamos o produto escalar :

Passo 4

Agora, integramos de 0 a :
Vamos resolver essa integral parte por parte.
Primeiro:
Sabemos que:
(então, )
Segundo:
Então, a integral de linha total é:

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral de superfície do rotacional de F sobre S. O Teorema de Stokes diz que:
Primeiro, encontramos o rotacional de F:
Calculando o determinante:

Passo 6

Agora, precisamos calcular a integral de superfície:
Sabemos que:
Para a superfície S, que é o paraboloide , a normal n para cima pode ser obtida usando a parametrização ou a fórmula da normal para superfícies implícitas:
No entanto, para facilitar, vamos usar coordenadas polares porque a superfície e a curva são simétricas.
Expressando em coordenadas polares:
O elemento de área para uma superfície dada por é:
Calculando as derivadas:
Então:
A normal n na direção para cima é:

Passo 7

Agora, calculamos o produto escalar :
Então, a integral de superfície fica:
(sendo que r vai de 0 a 1 por causa do cilindro )

Passo 8

Vamos resolver a integral dupla:
Primeiro, integramos em relação a r:
Então, a integral se torna:
Resolvendo:
Então:

Resposta

A integral de linha e a integral de superfície são iguais a , confirmando o Teorema de Stokes.

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