Resolva as equações:
(g) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . A matéria envolvida aqui é cálculo diferencial, especificamente equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar reorganizar a equação e possivelmente encontrar uma maneira de separá-la ou identificar um fator integrante que facilite a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos isolar para deixar a equação em uma forma mais fácil de manipular. Podemos reescrever a equação dada da seguinte maneira:
Agora, dividimos ambos os lados pelo termo que multiplica :

Passo 3

Vamos simplificar o denominador para facilitar os cálculos. Observe que podemos fatorar no denominador:
Substituindo de volta na equação:

Passo 4

Agora, temos uma equação que pode ser reescrita para facilitar a integração. Vamos rearranjar os termos para separar as variáveis e :

Passo 5

Vamos tentar integrar ambos os lados da equação. Primeiro, observe que a equação pode não ser exata, ou seja, pode não ser possível integrar diretamente. Portanto, vamos procurar por um fator integrante que torne a equação exata.
No entanto, para simplificar, vamos tentar reorganizar os termos de forma que possamos integrar diretamente.

Passo 6

Vamos multiplicar ambos os lados por 2 para facilitar os cálculos:
Agora, a equação fica:

Passo 7

Rearranjando para colocar os termos semelhantes juntos:
Agora, podemos tentar identificar se a equação é exata ou se precisa de um fator integrante.

Passo 8

Após analisar, percebemos que a equação pode ser integrada diretamente se reconhecermos que a expressão é derivada de uma função potencial. Integrando cada termo:

Passo 9

Somando todas as integrais, temos:
Simplificando os termos semelhantes:

Passo 10

Finalmente, isolamos ou deixamos a solução implícita, dependendo do nível de complexidade. Para esta equação, a solução fica de forma implícita:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é , onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Resolva o sistema de equações diferenciais por eliminação ou por determinantes.
Use a Regra da Cadeia para determinar e .
Use a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas.
quando
Resolva o sistema de equações diferenciais por eliminação ou por determinantes.