Resolva as equações:
(g)
.
(g)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. A matéria envolvida aqui é cálculo diferencial, especificamente equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar reorganizar a equação e possivelmente encontrar uma maneira de separá-la ou identificar um fator integrante que facilite a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos isolar
para deixar a equação em uma forma mais fácil de manipular. Podemos reescrever a equação dada da seguinte maneira:
Agora, dividimos ambos os lados pelo termo que multiplica
:
Passo 3
Vamos simplificar o denominador para facilitar os cálculos. Observe que podemos fatorar
no denominador:
Substituindo de volta na equação:
Passo 4
Agora, temos uma equação que pode ser reescrita para facilitar a integração. Vamos rearranjar os termos para separar as variáveis
e
:
Passo 5
Vamos tentar integrar ambos os lados da equação. Primeiro, observe que a equação pode não ser exata, ou seja, pode não ser possível integrar diretamente. Portanto, vamos procurar por um fator integrante que torne a equação exata.
No entanto, para simplificar, vamos tentar reorganizar os termos de forma que possamos integrar diretamente.
Passo 6
Vamos multiplicar ambos os lados por 2 para facilitar os cálculos:
Agora, a equação fica:
Passo 7
Rearranjando para colocar os termos semelhantes juntos:
Agora, podemos tentar identificar se a equação é exata ou se precisa de um fator integrante.
Passo 8
Após analisar, percebemos que a equação pode ser integrada diretamente se reconhecermos que a expressão é derivada de uma função potencial. Integrando cada termo:
Passo 9
Somando todas as integrais, temos:
Simplificando os termos semelhantes:
Passo 10
Finalmente, isolamos
ou deixamos a solução implícita, dependendo do nível de complexidade. Para esta equação, a solução fica de forma implícita:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
, onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Resolva o sistema de equações diferenciais por eliminação ou por determinantes.
Use a Regra da Cadeia para determinar
e
.
Use a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas.
quando
Resolva o sistema de equações diferenciais por eliminação ou por determinantes.