Resolva o sistema de equações diferenciais por eliminação ou por determinantes.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais! O enunciado nos dá duas equações envolvendo derivadas de
e
. A matéria que vamos usar aqui é de equações diferenciais lineares e sistemas de equações lineares. Para resolver, vamos usar o método da eliminação, que ajuda a simplificar o sistema para encontrar as funções
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever as equações de forma mais clara:
Aqui,
representa a derivada em relação a
, ou seja,
.
Passo 3
Nosso objetivo é eliminar uma das variáveis para resolver a outra. Vamos multiplicar a primeira equação por
e a segunda por
para igualar os coeficientes de
:
Passo 4
Subtraindo as duas equações para eliminar
:
Simplificando os termos:
Passo 5
Agora, isolamos
:
Podemos fatorar o denominador:
Então:
Passo 6
Para encontrar
, voltamos à primeira equação original e substituímos
:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 7
Resolvendo para
:
Simplificando o numerador:
Então:
Resposta
As soluções das equações diferenciais são: