Resolva o sistema de equações diferenciais por eliminação ou por determinantes.
{ (D-1)x + (D^2 + 1)y = 1 ; (D^2 - 1)x + (D-1)y = 2 }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais! O enunciado nos dá duas equações envolvendo derivadas de e . A matéria que vamos usar aqui é de equações diferenciais lineares e sistemas de equações lineares. Para resolver, vamos usar o método da eliminação, que ajuda a simplificar o sistema para encontrar as funções e .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever as equações de forma mais clara:
Aqui, representa a derivada em relação a , ou seja, .

Passo 3

Nosso objetivo é eliminar uma das variáveis para resolver a outra. Vamos multiplicar a primeira equação por e a segunda por para igualar os coeficientes de :

Passo 4

Subtraindo as duas equações para eliminar :
Simplificando os termos:

Passo 5

Agora, isolamos :
Podemos fatorar o denominador:
Então:

Passo 6

Para encontrar , voltamos à primeira equação original e substituímos :
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 7

Resolvendo para :
Simplificando o numerador:
Então:

Resposta

As soluções das equações diferenciais são:

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