Use a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas.
w=x^2+y^2+z^2, x=s t, y=s cos t, z=s sen t ; partial wpartial s, partial wpartial t quando s=1, t=0

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função , onde , e são funções de e . Precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e usando a Regra da Cadeia, e depois avaliar essas derivadas nos pontos e .

Passo 2

Primeiro, vamos substituir as expressões de w = (s t)^2 + (s cos t)^2 + (s sin t)^2 , e na função :

Passo 3

Agora, vamos expandir os termos ao quadrado:
w = s^2 t^2 + s^2 cos^2 t + s^2 sin^2 t

Passo 4

Percebemos que w = s^2 t^2 + s^2 cdot 1 = s^2 (t^2 + 1) (identidade trigonométrica). Então, podemos simplificar a expressão:

Passo 5

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e .

Passo 6

Derivando partial wpartial s = 2s (t^2 + 1) em relação a :

Passo 7

Derivando partial wpartial t = s^2 cdot 2t em relação a :

Passo 8

Agora, vamos substituir os valores partial wpartial s = 2 cdot 1 cdot (0^2 + 1) = 2 e partial wpartial t = 1^2 cdot 2 cdot 0 = 0 nas derivadas encontradas:

Resposta

Quando partial wpartial s = 2 e partial wpartial t = 0 e , temos:

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