Resolva as equações abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo
. A gente vai precisar usar o conceito de equações diferenciais exatas. Vamos ver passo a passo como resolver isso!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções que estão multiplicando
e
. Chamamos elas de
e
, respectivamente.
Passo 3
Agora, para verificar se a equação é exata, a gente precisa comparar as derivadas parciais cruzadas. Ou seja, vamos calcular
e
.
Calculando
:
Calculando
:
Passo 4
Como
, a equação é exata! Isso significa que existe uma função
tal que:
e a solução da equação será
, onde
é a constante de integração.
Passo 5
Vamos encontrar
integrando
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
, já que estamos integrando em relação a
.
Passo 6
Para determinar
, vamos derivar
em relação a
e comparar com
:
Sabemos que isso deve ser igual a
:
Subtraindo
de ambos os lados:
Passo 7
Agora, vamos integrar
para encontrar
:
Onde
é a constante de integração, que podemos incorporar na constante geral da solução.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante qualquer.
Exercícios relacionados
Resolva as equações abaixo:
Resolva as equações abaixo:
Resolva as equações abaixo:
Série de desintegrações radioativas: O seguinte sistema de equações diferenciais é encontrado no estudo da desintegração de um tipo especial de série de elementos radioativos:
onde
são constantes. Observe que na primeira equação tem apenas
, logo, usando um procedimento semelhante ao do exercício anterior é possível determinar
na segunda equação usando o resultado da primeira equação. Determine
e
sujeito às condições to
e
.