Resolva as equações abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo . A gente vai precisar usar o conceito de equações diferenciais exatas. Vamos ver passo a passo como resolver isso!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que estão multiplicando e . Chamamos elas de e , respectivamente.

Passo 3

Agora, para verificar se a equação é exata, a gente precisa comparar as derivadas parciais cruzadas. Ou seja, vamos calcular e .
Calculando :
Calculando :

Passo 4

Como , a equação é exata! Isso significa que existe uma função tal que:
e a solução da equação será , onde é a constante de integração.

Passo 5

Vamos encontrar integrando em relação a :
Aqui, é uma função que depende apenas de , já que estamos integrando em relação a .

Passo 6

Para determinar , vamos derivar em relação a e comparar com :
Sabemos que isso deve ser igual a :
Subtraindo de ambos os lados:

Passo 7

Agora, vamos integrar para encontrar :
Onde é a constante de integração, que podemos incorporar na constante geral da solução.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante qualquer.

Exercícios relacionados

Resolva as equações abaixo:
Resolva as equações abaixo:
Resolva as equações abaixo:
Série de desintegrações radioativas: O seguinte sistema de equações diferenciais é encontrado no estudo da desintegração de um tipo especial de série de elementos radioativos:
onde são constantes. Observe que na primeira equação tem apenas , logo, usando um procedimento semelhante ao do exercício anterior é possível determinar na segunda equação usando o resultado da primeira equação. Determine e sujeito às condições to e .