Resolva as equações abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que a gente tem aqui:
Esse tipo de equação pertence ao conteúdo de Equações Diferenciais Lineares de Primeira Ordem. A gente vai precisar usar o método do fator integrante para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear:
Para isso, dividimos ambos os lados da equação original por :
Aqui, identificamos que e .

Passo 3

Agora, vamos calcular o fator integrante, que é uma função que vai nos ajudar a simplificar a equação. O fator integrante é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação padrão pelo fator integrante:
O lado esquerdo agora se torna a derivada do produto :

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a :
Isso resulta em:
Onde é a constante de integração. Para encontrar , isolamos:

Resposta

A solução geral da equação é:
Onde é uma constante arbitrária.

Exercícios relacionados

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Resolva as equações abaixo:
Série de desintegrações radioativas: O seguinte sistema de equações diferenciais é encontrado no estudo da desintegração de um tipo especial de série de elementos radioativos:
onde são constantes. Observe que na primeira equação tem apenas , logo, usando um procedimento semelhante ao do exercício anterior é possível determinar na segunda equação usando o resultado da primeira equação. Determine e sujeito às condições to e .
Seja uma função diferenciável e uma primitiva de , tal que , . Calcule , onde está situada no primeiro octante, e é a interseção das superfícies e , percorrida no sentido anti-horário quando vista de cima.