Resolva as equações abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que a gente tem aqui:
Esse tipo de equação pertence ao conteúdo de Equações Diferenciais Lineares de Primeira Ordem. A gente vai precisar usar o método do fator integrante para resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão de uma equação diferencial linear:
Para isso, dividimos ambos os lados da equação original por
:
Aqui, identificamos que
e
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o fator integrante, que é uma função que vai nos ajudar a simplificar a equação. O fator integrante
é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação padrão pelo fator integrante:
O lado esquerdo agora se torna a derivada do produto
:
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
:
Isso resulta em:
Onde
é a constante de integração. Para encontrar
, isolamos:
Resposta
A solução geral da equação é:
Onde
é uma constante arbitrária.
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Série de desintegrações radioativas: O seguinte sistema de equações diferenciais é encontrado no estudo da desintegração de um tipo especial de série de elementos radioativos:
onde
são constantes. Observe que na primeira equação tem apenas
, logo, usando um procedimento semelhante ao do exercício anterior é possível determinar
na segunda equação usando o resultado da primeira equação. Determine
e
sujeito às condições to
e
.
Seja
uma função diferenciável e
uma primitiva de
, tal que
,
. Calcule
, onde
está situada no primeiro octante, e é a interseção das superfícies
e
, percorrida no sentido anti-horário quando vista de cima.