Use a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas.
quando
Passo 1
Vamos resolver um exercício de derivadas parciais usando a Regra da Cadeia. O problema nos dá as funções:
Precisamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
,
e
quando
,
e
. Para isso, vamos utilizar a Regra da Cadeia, que nos ajuda a calcular derivadas de funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a Regra da Cadeia para derivadas parciais. Se
depende de
e
, que por sua vez dependem de
,
e
, então a derivada parcial de
em relação a uma dessas variáveis é dada por:
onde
pode ser
,
ou
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
- Derivadas de
em relação a e :
- Derivadas de
e em relação a , e :
Passo 4
Agora, aplicamos a Regra da Cadeia para cada derivada parcial.
- Para
:
Substituindo:
- Para
:
Substituindo:
- Para
:
Substituindo:
Passo 5
Agora, vamos substituir os valores
,
e
nas expressões obtidas.
Primeiro, calculamos
e
para esses valores:
Agora, substituímos na expressão de
:
Para
:
Para
:
Resposta
As derivadas parciais são:
Exercícios relacionados
Nos exercícios 1-22, encontre
e
.
Use a Regra da Cadeia para determinar
e
.
Use a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas.
Resolva as equações:
(b) .
(b)