Use a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas.
z=xy, x=r e^s t, y=r s e^t ; partial zpartial r, partial zpartial s, partial zpartial t quando r=1, s=2, t=0

Passo 1

Vamos resolver um exercício de derivadas parciais usando a Regra da Cadeia. O problema nos dá as funções:
z = xy, x = r e^st, y = r s e^t
Precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a , e quando , e . Para isso, vamos utilizar a Regra da Cadeia, que nos ajuda a calcular derivadas de funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a Regra da Cadeia para derivadas parciais. Se partial zpartial u = partial zpartial x partial xpartial u + partial zpartial y partial ypartial u depende de e , que por sua vez dependem de , e , então a derivada parcial de em relação a uma dessas variáveis é dada por:
onde pode ser , ou .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
  1. Derivadas de partial zpartial x = 1y em relação a partial zpartial y = -xy^2 e partial xpartial r = e^st :
partial xpartial s = r t e^st
partial xpartial t = r s e^st
  1. Derivadas de partial ypartial r = s e^t e partial ypartial s = r e^t em relação a partial ypartial t = r s e^t , e :

Passo 4

Agora, aplicamos a Regra da Cadeia para cada derivada parcial.
  1. Para partial zpartial r = partial zpartial x partial xpartial r + partial zpartial y partial ypartial r :
partial zpartial r = 1y cdot e^st + (-xy^2) cdot s e^t
Substituindo:
partial zpartial s = partial zpartial x partial xpartial s + partial zpartial y partial ypartial s
  1. Para partial zpartial s = 1y cdot r t e^st + (-xy^2) cdot r e^t :
partial zpartial t = partial zpartial x partial xpartial t + partial zpartial y partial ypartial t
Substituindo:
partial zpartial t = 1y cdot r s e^st + (-xy^2) cdot r s e^t
  1. Para :
Substituindo:

Passo 5

Agora, vamos substituir os valores x = 1 cdot e^2 cdot 0 = 1 , y = 1 cdot 2 cdot e^0 = 2 e partial zpartial r = 12 cdot e^0 + (-12^2) cdot 2 e^0 = 12 - 24 = 12 - 12 = 0 nas expressões obtidas.
Primeiro, calculamos partial zpartial s = 12 cdot 1 cdot 0 cdot e^0 + (-14) cdot 1 cdot e^0 = 0 - 14 = -14 e partial zpartial t = 12 cdot 1 cdot 2 cdot e^0 + (-14) cdot 1 cdot 2 cdot e^0 = 22 - 24 = 1 - 12 = 12 para esses valores:
Agora, substituímos na expressão de :
Para :
Para :

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial r = 0
partial zpartial s = -14
partial zpartial t = 12

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