Use a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas.
quando

Passo 1

Vamos resolver um exercício de derivadas parciais usando a Regra da Cadeia. O problema nos dá as funções:
Precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a , e quando , e . Para isso, vamos utilizar a Regra da Cadeia, que nos ajuda a calcular derivadas de funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a Regra da Cadeia para derivadas parciais. Se depende de e , que por sua vez dependem de , e , então a derivada parcial de em relação a uma dessas variáveis é dada por:
onde pode ser , ou .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
  1. Derivadas de em relação a e :
  1. Derivadas de e em relação a , e :

Passo 4

Agora, aplicamos a Regra da Cadeia para cada derivada parcial.
  1. Para :
Substituindo:
  1. Para :
Substituindo:
  1. Para :
Substituindo:

Passo 5

Agora, vamos substituir os valores , e nas expressões obtidas.
Primeiro, calculamos e para esses valores:
Agora, substituímos na expressão de :
Para :
Para :

Resposta

As derivadas parciais são:

Exercícios relacionados

Nos exercícios 1-22, encontre e .
Use a Regra da Cadeia para determinar e .
Use a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas.
Resolva as equações:
(b) .