Use a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas.
u=p q-p^2 r^2 s, p=x+2 y, q=x-2 y, r=xy^4, s=2 x y^3 / 2 ; partial upartial x, partial upartial y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para usar a Regra da Cadeia para encontrar as derivadas parciais e . A gente vai precisar entender como aplicar essa regra em funções compostas. Basicamente, a Regra da Cadeia nos ajuda a derivar funções que dependem de outras funções. No nosso caso, depende de , , e , que por sua vez dependem de e . Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar todas as funções envolvidas:
u = p q - p^2 r^2 s
p = x + 2y
q = x - 2y
r = xy^4
s = 2x y^3/2
Para encontrar as derivadas parciais de em relação a e , precisamos aplicar a Regra da Cadeia levando em conta como depende dessas variáveis através de , , e .

Passo 3

Vamos começar encontrando partial upartial x = partial upartial p cdot partial ppartial x + partial upartial q cdot partial qpartial x + partial upartial r cdot partial rpartial x + partial upartial s cdot partial spartial x . Usando a Regra da Cadeia para funções de múltiplas variáveis, temos:
Agora, vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais.

Passo 4

Calculando as derivadas parciais de partial upartial p = q - 2p r^2 s :
partial upartial q = p
partial upartial r = -2 p^2 r s
partial upartial s = -p^2 r^2
Agora, vamos calcular as derivadas de , , e em relação a .

Passo 5

Calculando as derivadas de partial ppartial x = 1 , partial qpartial x = 1 , partial rpartial x = 1y^4 e partial spartial x = 2 y^3/2 em relação a :

Passo 6

Agora, substituímos todas essas derivadas na expressão inicial para partial upartial x = (q - 2p r^2 s) cdot 1 + p cdot 1 + (-2 p^2 r s) cdot 1y^4 + (-p^2 r^2) cdot 2 y^3/2 :
partial upartial x = q - 2p r^2 s + p - 2 p^2 r sy^4 - 2 p^2 r^2 y^3/2
Vamos simplificar isso:

Passo 7

Agora, vamos calcular partial upartial y = partial upartial p cdot partial ppartial y + partial upartial q cdot partial qpartial y + partial upartial r cdot partial rpartial y + partial upartial s cdot partial spartial y da mesma forma. Aplicando a Regra da Cadeia:
Calcular as derivadas parciais necessárias.

Passo 8

Calculando as derivadas de partial ppartial y = 2 , partial qpartial y = -2 , partial rpartial y = -4 cdot xy^5 = -4xy^5 e partial spartial y = 2x cdot 32 y^1/2 = 3x y^1/2 em relação a :

Passo 9

Substituindo essas derivadas na expressão para partial upartial y = (q - 2p r^2 s) cdot 2 + p cdot (-2) + (-2 p^2 r s) cdot (-4xy^5) + (-p^2 r^2) cdot 3x y^1/2 :
partial upartial y = 2q - 4p r^2 s - 2p + 8 p^2 r s xy^5 - 3 p^2 r^2 x y^1/2
Simplificando:

Resposta

As derivadas parciais de partial upartial x = q - 2p r^2 s + p - 2 p^2 r sy^4 - 2 p^2 r^2 y^3/2 são:
partial upartial y = 2q - 4p r^2 s - 2p + 8 p^2 r s xy^5 - 3 p^2 r^2 x y^1/2

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