Use a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para usar a Regra da Cadeia para encontrar as derivadas parciais e . A gente vai precisar entender como aplicar essa regra em funções compostas. Basicamente, a Regra da Cadeia nos ajuda a derivar funções que dependem de outras funções. No nosso caso, depende de , , e , que por sua vez dependem de e . Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar todas as funções envolvidas:
Para encontrar as derivadas parciais de em relação a e , precisamos aplicar a Regra da Cadeia levando em conta como depende dessas variáveis através de , , e .

Passo 3

Vamos começar encontrando . Usando a Regra da Cadeia para funções de múltiplas variáveis, temos:
Agora, vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais.

Passo 4

Calculando as derivadas parciais de :
Agora, vamos calcular as derivadas de , , e em relação a .

Passo 5

Calculando as derivadas de , , e em relação a :

Passo 6

Agora, substituímos todas essas derivadas na expressão inicial para :
Vamos simplificar isso:

Passo 7

Agora, vamos calcular da mesma forma. Aplicando a Regra da Cadeia:
Calcular as derivadas parciais necessárias.

Passo 8

Calculando as derivadas de , , e em relação a :

Passo 9

Substituindo essas derivadas na expressão para :
Simplificando:

Resposta

As derivadas parciais de são:

Exercícios relacionados

Use a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas.
quando
Nos exercícios 1-22, encontre e .
Resolva as equações:
(b) .
Nos exercícios 1-22, encontre e .