Use a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para usar a Regra da Cadeia para encontrar as derivadas parciais
e
. A gente vai precisar entender como aplicar essa regra em funções compostas. Basicamente, a Regra da Cadeia nos ajuda a derivar funções que dependem de outras funções. No nosso caso,
depende de
,
,
e
, que por sua vez dependem de
e
. Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar todas as funções envolvidas:
Para encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
, precisamos aplicar a Regra da Cadeia levando em conta como
depende dessas variáveis através de
,
,
e
.
Passo 3
Vamos começar encontrando
. Usando a Regra da Cadeia para funções de múltiplas variáveis, temos:
Agora, vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais.
Passo 4
Calculando as derivadas parciais de
:
Agora, vamos calcular as derivadas de
,
,
e
em relação a
.
Passo 5
Calculando as derivadas de
,
,
e
em relação a
:
Passo 6
Agora, substituímos todas essas derivadas na expressão inicial para
:
Vamos simplificar isso:
Passo 7
Agora, vamos calcular
da mesma forma. Aplicando a Regra da Cadeia:
Calcular as derivadas parciais necessárias.
Passo 8
Calculando as derivadas de
,
,
e
em relação a
:
Passo 9
Substituindo essas derivadas na expressão para
:
Simplificando:
Resposta
As derivadas parciais de
são:
Exercícios relacionados
Use a Regra da Cadeia para determinar as derivadas parciais indicadas.
quando
Nos exercícios 1-22, encontre
e
.
Resolva as equações:
(b) .
(b)
Nos exercícios 1-22, encontre
e
.