Resolva as equações diferenciais abaixo apresentado a máxima simplificação.

Passo 1

Beleza! Então, o que a gente tem aqui é uma equação diferencial:

Vamos resolver isso passo a passo. A matéria envolvida aqui é Equações Diferenciais, especificamente lidando com equações que podem ser simplificadas usando substituições. Vamos precisar usar uma substituição inteligente para tornar a equação mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar simplificar a equação. Dá pra reescrever o lado direito de uma forma que facilite a gente trabalhar:

Então, a equação fica:

Passo 3

Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar ainda mais. Vamos definir:

Isso significa que:
E derivando em relação a :

Passo 4

Substituindo e na equação original:

Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos isolar o termo que envolve :

Passo 6

Aequação ficou separável! Vamos separar as variáveis e :

Passo 7

Agora, vamos integrar os dois lados:

A integral da esquerda é:
E a da direita é:

Então:

Passo 8

Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:

Onde é uma constante qualquer.

Passo 9

Exponenciando para tirar o logaritmo:

Onde é uma nova constante.

Passo 10

Lembrando que , substituímos de volta:

Multiplicando tudo por :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

Onde é uma constante arbitrária.

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