Resolva as equações diferenciais abaixo apresentado a máxima simplificação.
Passo 1
Beleza! Então, o que a gente tem aqui é uma equação diferencial:
Vamos resolver isso passo a passo. A matéria envolvida aqui é Equações Diferenciais, especificamente lidando com equações que podem ser simplificadas usando substituições. Vamos precisar usar uma substituição inteligente para tornar a equação mais fácil de resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar simplificar a equação. Dá pra reescrever o lado direito de uma forma que facilite a gente trabalhar:
Então, a equação fica:
Passo 3
Agora, vamos fazer uma substituição para simplificar ainda mais. Vamos definir:
Isso significa que:
E derivando em relação a
:
Passo 4
Substituindo
e
na equação original:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos isolar o termo que envolve
:
Passo 6
Aequação ficou separável! Vamos separar as variáveis
e
:
Passo 7
Agora, vamos integrar os dois lados:
A integral da esquerda é:
E a da direita é:
Então:
Passo 8
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
Onde
Passo 9
Exponenciando para tirar o logaritmo:
Onde
Passo 10
Lembrando que
, substituímos de volta:
Multiplicando tudo por
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
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