Resolva as equações diferenciais abaixo apresentado a máxima simplificação.
d y/d x = (x^2 + y^2) / (2 x y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que a gente tem aí:
Esse tipo de equação pertence ao conteúdo de Equações Diferenciais Ordinárias, mais especificamente das equações homogêneas. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição que simplifique a equação, facilitando a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar se a equação é homogênea. Uma equação diferencial é chamada de homogênea se podemos escrever como uma função de y/x. No nosso caso:
Dividindo o numerador e o denominador por x^2, temos:
Isso mostra que a equação é de fato homogênea, já que está em termos de y/x.

Passo 3

Vamos fazer uma substituição para simplificar a equação. Seja . Então, . Agora, vamos calcular usando a regra do produto:
Substituindo isso na equação original:

Passo 4

Agora, vamos isolar :
Simplificando o lado direito:
Portanto:

Passo 5

Essa equação pode ser separada, ou seja, conseguimos colocar todas as z de um lado e todas as x do outro. Vamos reescrever:
Agora, integramos ambos os lados.

Passo 6

Integrando o lado esquerdo:
Fazendo uma substituição , então :
Integrando o lado direito:
Portanto:

Passo 7

Vamos simplificar a expressão para resolver em termos de z:
Onde é uma constante arbitrária. Podemos reescrever isso como:
Retirando o logaritmo:

Passo 8

Lembrando que , substituímos de volta:
Multiplicando ambos os lados por x^2:
Podemos renomear a constante como , já que ainda é uma constante arbitrária. Assim, temos:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde C é uma constante arbitrária.

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