Resolva as equações diferenciais abaixo apresentado a máxima simplificação.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que a gente tem aí:
Esse tipo de equação pertence ao conteúdo de Equações Diferenciais Ordinárias, mais especificamente das equações homogêneas. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição que simplifique a equação, facilitando a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar se a equação é homogênea. Uma equação diferencial é chamada de homogênea se podemos escrever
como uma função de
. No nosso caso:
Dividindo o numerador e o denominador por
, temos:
Isso mostra que a equação é de fato homogênea, já que está em termos de
.
Passo 3
Vamos fazer uma substituição para simplificar a equação. Seja
. Então,
. Agora, vamos calcular
usando a regra do produto:
Substituindo isso na equação original:
Passo 4
Agora, vamos isolar
:
Simplificando o lado direito:
Portanto:
Passo 5
Essa equação pode ser separada, ou seja, conseguimos colocar todas as
de um lado e todas as
do outro. Vamos reescrever:
Agora, integramos ambos os lados.
Passo 6
Integrando o lado esquerdo:
Fazendo uma substituição
, então
:
Integrando o lado direito:
Portanto:
Passo 7
Vamos simplificar a expressão para resolver em termos de
:
Onde
é uma constante arbitrária. Podemos reescrever isso como:
Retirando o logaritmo:
Passo 8
Lembrando que
, substituímos de volta:
Multiplicando ambos os lados por
:
Podemos renomear a constante
como
, já que
ainda é uma constante arbitrária. Assim, temos:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária.
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