Resolva as equações diferenciais abaixo apresentado a máxima simplificação.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente resolver a equação diferencial . Isso envolve o conteúdo de equações diferenciais, mais especificamente de equações homogêneas. Vamos precisar usar uma substituição para simplificar essa equação e torná-la mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que a equação é homogênea. Isso significa que podemos fazer a substituição , onde é uma função de . Com isso, podemos reescrever como .

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação a usando a regra do produto:
Substituímos isso na equação original:

Passo 4

Simplificando o lado direito da equação:
Então, temos:

Passo 5

Vamos isolar :

Passo 6

Podemos reescrever essa equação como:
Isso pode ser separado em:

Passo 7

Simplificando o lado esquerdo:

Passo 8

Integramos ambos os lados:
Usando frações parciais no lado esquerdo e integrando o lado direito:

Passo 9

Substituímos de volta:
Multiplicando ambos os lados por -2:
Onde é uma constante.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
ou, de forma simplificada:
onde é uma constante.

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