Resolva as equações diferenciais abaixo apresentado a máxima simplificação.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente resolver a equação diferencial . Isso envolve o conteúdo de equações diferenciais, mais especificamente de equações homogêneas. Vamos precisar usar uma substituição para simplificar essa equação e torná-la mais fácil de resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que a equação é homogênea. Isso significa que podemos fazer a substituição , onde é uma função de . Com isso, podemos reescrever como .
Passo 3
Agora, vamos derivar em relação a usando a regra do produto:
Substituímos isso na equação original:
Passo 4
Simplificando o lado direito da equação:
Então, temos:
Passo 5
Vamos isolar :
Passo 6
Podemos reescrever essa equação como:
Isso pode ser separado em:
Passo 7
Simplificando o lado esquerdo:
Passo 8
Integramos ambos os lados:
Usando frações parciais no lado esquerdo e integrando o lado direito: