Resolva as equações diferenciais abaixo. sen(x) dx + y dy = 0 ; y(0) = -2

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial dada: com a condição inicial . Essa é uma equação diferencial de primeira ordem que envolve funções de x e y. Para resolver, vamos precisar utilizar técnicas de integração e aplicar a condição inicial para encontrar a solução específica.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a integração. Podemos isolar os termos com e :
Isso nos permite integrar cada lado separadamente.

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação:
Integrando, obtemos:
onde e são constantes de integração.

Passo 4

Podemos simplificar as constantes combinando e em uma única constante C:
Multiplicando ambos os lados por -1:
Multiplicando tudo por para simplificar:

Passo 5

Para encontrar a solução geral, resolvemos para y:

Passo 6

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar o valor de C. Substituímos x = 0 e na equação:
Como , temos:
Dado que , escolhemos o sinal negativo:
Removendo o sinal negativo:
Elevando ao quadrado ambos os lados:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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