Resolva as equações diferenciais abaixo.
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial dada:
com a condição inicial
. Essa é uma equação diferencial de primeira ordem que envolve funções de
e
. Para resolver, vamos precisar utilizar técnicas de integração e aplicar a condição inicial para encontrar a solução específica.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a integração. Podemos isolar os termos com
e
:
Isso nos permite integrar cada lado separadamente.
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação:
Integrando, obtemos:
onde
e
são constantes de integração.
Passo 4
Podemos simplificar as constantes combinando
e
em uma única constante
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Multiplicando tudo por
para simplificar:
Passo 5
Para encontrar a solução geral, resolvemos para
:
Passo 6
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar o valor de
. Substituímos
e
na equação:
Como
, temos:
Dado que
, escolhemos o sinal negativo:
Removendo o sinal negativo:
Elevando ao quadrado ambos os lados:
Resposta
A solução da equação diferencial é: