Resolva as equações diferenciais abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
. A matéria envolvida aqui é equações diferenciais, especificamente as equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar integrar os termos e encontrar uma relação entre
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para separar as variáveis
e
. Temos:
Isso nos ajuda a isolar todas as
de um lado e as
do outro.
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A ideia é encontrar funções que, quando derivadas, nos retornem os termos que temos. Então, integramos:
Passo 4
Vamos calcular as integrais:
Aqui,
e
são constantes de integração. Como estamos trabalhando com uma única constante geral, podemos combinar
e
em uma única constante
.
Passo 5
Juntando as duas integrais, temos:
Podemos rearranjar para deixar a equação mais clara:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.