Resolva as equações diferenciais abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
. A matéria envolvida aqui é equações diferenciais, especificamente as equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar integrar os termos e encontrar uma relação entre
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para separar as variáveis
e
. Temos:
Isso nos ajuda a isolar todas as
de um lado e as
do outro.
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A ideia é encontrar funções que, quando derivadas, nos retornem os termos que temos. Então, integramos:
Passo 4
Vamos calcular as integrais:
Aqui,
e
são constantes de integração. Como estamos trabalhando com uma única constante geral, podemos combinar
e
em uma única constante
.
Passo 5
Juntando as duas integrais, temos:
Podemos rearranjar para deixar a equação mais clara:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.
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<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.798ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“13.58ex” height=“2.755ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -864.9 6002.5 1217.7”><title>1/x dx + dy = 0</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mfrac”><g data-mml-node=“mn” transform=“translate(245.5,394) scale(0.707)”><path data-c=“31” d=“M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z”></path></g><g data-mml-node=“mi” transform=“translate(220,-345) scale(0.707)”><path data-c=“1D465” d=“M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z”></path></g><rect width=“604.5” height=“60” x=“120” y=“220”></rect></g><g data-mml-node=“mi” transform=“translate(844.5,0)”><path data-c=“1D451” d=“M366 683Q367 683 438 688T511 694Q523 694 523 686Q523 679 450 384T375 83T374 68Q374 26 402 26Q411 27 422 35Q443 55 463 131Q469 151 473 152Q475 153 483 153H487H491Q506 153 506 145Q506 140 503 129Q490 79 473 48T445 8T417 -8Q409 -10 393 -10Q359 -10 336 5T306 36L300 51Q299 52 296 50Q294 48 292 46Q233 -10 172 -10Q117 -10 75 30T33 157Q33 205 53 255T101 341Q148 398 195 420T280 442Q336 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<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.798ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“13.58ex” height=“2.755ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -864.9 6002.5 1217.7”><title>1/x dx + dy = 0</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mfrac”><g data-mml-node=“mn” transform=“translate(245.5,394) scale(0.707)”><path data-c=“31” d=“M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z”></path></g><g data-mml-node=“mi” transform=“translate(220,-345) scale(0.707)”><path data-c=“1D465” d=“M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 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<html><head></head><body><div>Resolva as equações diferenciais abaixo. <span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.566ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“30.78ex” height=“2.262ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -750 13604.9 1000”><title>sen(x) dx + y dy = 0 ; y(0) = -2</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“73” d=“M295 316Q295 356 268 385T190 414Q154 414 128 401Q98 382 98 349Q97 344 98 336T114 312T157 287Q175 282 201 278T245 269T277 256Q294 248 310 236T342 195T359 133Q359 71 321 31T198 -10H190Q138 -10 94 26L86 19L77 10Q71 4 65 -1L54 -11H46H42Q39 -11 33 -5V74V132Q33 153 35 157T45 162H54Q66 162 70 158T75 146T82 119T101 77Q136 26 198 26Q295 26 295 104Q295 133 277 151Q257 175 194 187T111 210Q75 227 54 256T33 318Q33 357 50 384T93 424T143 442T187 447H198Q238 447 268 432L283 424L292 431Q302 440 314 448H322H326Q329 448 335 442V310L329 304H301Q295 310 295 316Z”></path><path data-c=“65” d=“M28 218Q28 273 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<html><head></head><body><div>Resolva as equações diferenciais abaixo. <span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -1.108ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“34.893ex” height=“3.065ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -864.9 15422.8 1354.9”><title>(x^2 + 1) dx + 1/y dy = 0; y(-1) = 1</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mrow”><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(0 -0.5)”><path data-c=“28” d=“M152 251Q152 646 388 850H416Q422 844 422 841Q422 837 403 816T357 753T302 649T255 482T236 250Q236 124 255 19T301 -147T356 -251T403 -315T422 -340Q422 -343 416 -349H388Q359 -325 332 -296T271 -213T212 -97T170 56T152 251Z”></path></g><g data-mml-node=“msup” transform=“translate(458,0)”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D465” d=“M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 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<html><head></head><body><div>Resolva as equações diferenciais abaixo. <span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.791ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“35.302ex” height=“2.946ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -952.7 15603.4 1302.2”><title>x e(x2) dx + (y^5 - 1) dy = 0 ; y(0) = 0</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D465” d=“M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 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