Resolva as equações diferenciais abaixo. x dx + 1/y dy = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: . A matéria envolvida aqui é equações diferenciais, especificamente as equações diferenciais de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar integrar os termos e encontrar uma relação entre e .

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para separar as variáveis e . Temos:
Isso nos ajuda a isolar todas as de um lado e as do outro.

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A ideia é encontrar funções que, quando derivadas, nos retornem os termos que temos. Então, integramos:

Passo 4

Vamos calcular as integrais:
Aqui, e são constantes de integração. Como estamos trabalhando com uma única constante geral, podemos combinar e em uma única constante .

Passo 5

Juntando as duas integrais, temos:
Podemos rearranjar para deixar a equação mais clara:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é uma constante arbitrária.

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