Resolva as equações diferenciais abaixo por separação de variáveis:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente recebeu a seguinte equação diferencial para resolver usando separação de variáveis:
Esse tipo de equação envolve derivadas de segunda ordem e termos não lineares. Para resolver, vamos precisar usar uma técnica chamada substituição para simplificar a equação e depois aplicar a separação de variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para reduzir a equação de segunda ordem para uma de primeira ordem. Vamos definir . Com isso, a segunda derivada de em relação a fica:
Substituindo isso na equação original, temos:
Isso nos dá uma equação diferencial de primeira ordem em termos de e .

Passo 3

Agora, vamos relacionar com . Sabemos que , então podemos escrever:
Substituindo isso na equação anterior:
Podemos dividir ambos os lados por (desde que ):

Passo 4

Essa é uma equação diferencial simples que podemos resolver separando as variáveis. Vamos reescrever:
Agora, integramos ambos os lados em relação a :
Isso nos dá:
onde é a constante de integração.

Passo 5

Lembrando que , substituímos de volta:
Agora, temos uma equação diferencial de primeira ordem que podemos tentar separar as variáveis.

Passo 6

Vamos separar as variáveis e :
Agora, integramos ambos os lados:
A integral do lado esquerdo pode ser complicada e pode não ter uma solução em termos de funções elementares, mas isso nos dá a forma geral da solução.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é dada por:
onde e são constantes de integração.

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