Resolva as equações diferenciais abaixo por separação de variáveis:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente recebeu a seguinte equação diferencial para resolver usando separação de variáveis:
Esse tipo de equação envolve derivadas de segunda ordem e termos não lineares. Para resolver, vamos precisar usar uma técnica chamada substituição para simplificar a equação e depois aplicar a separação de variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para reduzir a equação de segunda ordem para uma de primeira ordem. Vamos definir
. Com isso, a segunda derivada de
em relação a
fica:
Substituindo isso na equação original, temos:
Isso nos dá uma equação diferencial de primeira ordem em termos de
e
.
Passo 3
Agora, vamos relacionar
com
. Sabemos que
, então podemos escrever:
Substituindo isso na equação anterior:
Podemos dividir ambos os lados por
(desde que
):
Passo 4
Essa é uma equação diferencial simples que podemos resolver separando as variáveis. Vamos reescrever:
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
Isso nos dá:
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Lembrando que
, substituímos de volta:
Agora, temos uma equação diferencial de primeira ordem que podemos tentar separar as variáveis.
Passo 6
Vamos separar as variáveis
e
:
Agora, integramos ambos os lados:
A integral do lado esquerdo pode ser complicada e pode não ter uma solução em termos de funções elementares, mas isso nos dá a forma geral da solução.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é dada por:
onde
e
são constantes de integração.
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