Resolva as equações diferenciais abaixo por separação de variáveis:

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma equação diferencial para resolver usando separação de variáveis. A equação é:

Vamos precisar manipular os termos para conseguir separar y e dy de um lado e x e dx do outro.

Passo 2

Primeiro, vamos isolar na equação:

Agora, dividimos ambos os lados por para deixar sozinho:

Passo 3

Simplificando a fração usando propriedades dos expoentes ( ):

Então, temos:

Passo 4

Agora, vamos separar as variáveis, ou seja, colocar todos os termos com y de um lado e os termos com x do outro:

Essa é a separação de variáveis!

Passo 5

Vamos integrar ambos os lados para encontrar y em função de x:

Passo 6

Calculando as integrais:
  • A integral de é
  • A integral de é
Então:

Onde é uma constante qualquer.

Passo 7

Vamos resolver para y:
Multiplicando ambos os lados por 2:

Agora, aplicamos o logaritmo natural para ambos os lados:
E finalmente:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

Onde é uma constante de integração.

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