Resolva as equações diferenciais abaixo por separação de variáveis:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma equação diferencial para resolver usando separação de variáveis. A equação é:
Vamos precisar manipular os termos para conseguir separar y e dy de um lado e x e dx do outro.
Passo 2
Primeiro, vamos isolar
na equação:
Agora, dividimos ambos os lados por
Passo 3
Simplificando a fração usando propriedades dos expoentes (
):
Então, temos:
Passo 4
Agora, vamos separar as variáveis, ou seja, colocar todos os termos com y de um lado e os termos com x do outro:
Essa é a separação de variáveis!
Passo 5
Vamos integrar ambos os lados para encontrar y em função de x:
Passo 6
Calculando as integrais:
- A integral de
é - A integral de
é
Então:
Onde
Passo 7
Vamos resolver para y:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Agora, aplicamos o logaritmo natural para ambos os lados:
E finalmente:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
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