Resolva as equações diferenciais abaixo por separação de variáveis: ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: . Aqui, vamos usar o método de separação de variáveis, que é uma técnica para resolver equações diferenciais onde conseguimos separar as variáveis e em lados opostos da equação. Para isso, precisamos integrar ambos os lados da equação separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis:
Isso significa que temos uma expressão envolvendo apenas e de um lado, e apenas e do outro.

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. Vamos começar com o lado esquerdo:
Para integrar , lembramos que e que . Então, reescrevemos a integral:

Passo 4

Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja , então . Substituindo na integral:
Voltando para :

Passo 5

Agora, vamos integrar o lado direito da equação:
Sabemos que , então substituímos:

Passo 6

Igualando as integrais dos dois lados, temos:
Onde é a constante de integração.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante real.

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