Resolva as equações diferenciais abaixo por separação de variáveis:
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
. Aqui, vamos usar o método de separação de variáveis, que é uma técnica para resolver equações diferenciais onde conseguimos separar as variáveis
e
em lados opostos da equação. Para isso, precisamos integrar ambos os lados da equação separadamente.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para separar as variáveis:
Isso significa que temos uma expressão envolvendo apenas
e
de um lado, e apenas
e
do outro.
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. Vamos começar com o lado esquerdo:
Para integrar
, lembramos que
e que
. Então, reescrevemos a integral:
Passo 4
Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja
, então
. Substituindo na integral:
Voltando para
:
Passo 5
Agora, vamos integrar o lado direito da equação:
Sabemos que
, então substituímos:
Passo 6
Igualando as integrais dos dois lados, temos:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante real.
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