Resolva os problemas de valor inicial abaixo por separação de variáveis: ;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial usando separação de variáveis. A equação que temos é , e a condição inicial é . Para isso, vamos precisar entender como separar as variáveis na equação diferencial.
Passo 2
Primeiro, vamos separar as variáveis e . Isso significa colocar todos os termos com de um lado e todos os termos com do outro. A equação dada é:
Vamos rearranjar para obter:
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A integração vai nos ajudar a encontrar uma relação entre e . Vamos começar com o lado esquerdo:
Para integrar isso, podemos usar a técnica de frações parciais. Sabemos que:
Então, a integral fica:
Simplificando:
Agora, vamos integrar o lado direito:
Passo 4
Vamos igualar as integrais dos dois lados:
Onde é uma constante de integração. Podemos multiplicar ambos os lados por 2 para simplificar:
Onde . Agora, vamos eliminar o logaritmo aplicando a exponencial dos dois lados:
Podemos chamar de outra constante , então:
Passo 5
Agora, vamos usar a condição inicial para encontrar o valor de . Substituindo e na equação: