Resolva os problemas de valor inicial abaixo por separação de variáveis: ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial usando separação de variáveis. A equação que temos é , e a condição inicial é . Para isso, vamos precisar entender como separar as variáveis na equação diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos separar as variáveis e . Isso significa colocar todos os termos com de um lado e todos os termos com do outro. A equação dada é:
Vamos rearranjar para obter:

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A integração vai nos ajudar a encontrar uma relação entre e . Vamos começar com o lado esquerdo:
Para integrar isso, podemos usar a técnica de frações parciais. Sabemos que:
Então, a integral fica:
Simplificando:
Agora, vamos integrar o lado direito:

Passo 4

Vamos igualar as integrais dos dois lados:
Onde é uma constante de integração. Podemos multiplicar ambos os lados por 2 para simplificar:
Onde . Agora, vamos eliminar o logaritmo aplicando a exponencial dos dois lados:
Podemos chamar de outra constante , então:

Passo 5

Agora, vamos usar a condição inicial para encontrar o valor de . Substituindo e na equação:
Então, . Agora, substituímos de volta na equação:
Vamos resolver para :

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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