Resolva os problemas de valor inicial abaixo por separação de variáveis:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial usando separação de variáveis. O enunciado nos dá a equação diferencial com a condição inicial
. A matéria que vamos usar aqui é Equações Diferenciais, especificamente o método de separação de variáveis, que ajuda a resolver equações onde as variáveis podem ser separadas em lados opostos da igualdade.
Passo 2
Primeiro, vamos separar as variáveis
e
. Para isso, colocamos todos os termos com
de um lado e os termos com
do outro. A equação fica assim:
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A integral de
é
, e a integral de é
. Assim, temos:
onde
é a constante de integração.
Passo 4
Vamos resolver para
exponenciando ambos os lados da equação para eliminar o logaritmo:
Podemos simplificar
para uma nova constante
, então:
Passo 5
Agora, usamos a condição inicial
para encontrar o valor de
. Substituindo
na equação:
Resolvendo para
:
Resposta
A solução da equação diferencial é:
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