Resolva os problemas de valor inicial abaixo por separação de variáveis: d x/d t = x sen(t), x(0) = 1;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial usando separação de variáveis. O enunciado nos dá a equação diferencial com a condição inicial . A matéria que vamos usar aqui é Equações Diferenciais, especificamente o método de separação de variáveis, que ajuda a resolver equações onde as variáveis podem ser separadas em lados opostos da igualdade.

Passo 2

Primeiro, vamos separar as variáveis x e t. Para isso, colocamos todos os termos com x de um lado e os termos com t do outro. A equação fica assim:

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A integral de é , e a integral de é . Assim, temos:
onde é a constante de integração.

Passo 4

Vamos resolver para x exponenciando ambos os lados da equação para eliminar o logaritmo:
Podemos simplificar para uma nova constante K, então:

Passo 5

Agora, usamos a condição inicial para encontrar o valor de K. Substituindo na equação:
Resolvendo para K:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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