Resolva as equações diferenciais abaixo. (x^2 + 1) dx + 1/y dy = 0; y(-1) = 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é assim: , com a condição inicial . A matéria que vamos usar aqui é sobre equações diferenciais de primeira ordem, especificamente equações exatas. Vamos precisar verificar se a equação é exata e, se for, encontrar uma função solução que atenda à condição inicial.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da equação. Temos:
Para saber se a equação é exata, verificamos se:
Calculando:
Como as derivadas parciais são iguais, a equação é exata.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a função potencial tal que:
Integrando em relação a :
Onde é uma função de .

Passo 4

Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Integrando em relação a :
Podemos ignorar a constante aqui, pois será absorvida na constante geral.

Passo 5

Então, a função potencial completa é:
Como a equação é exata, a solução geral é :

Passo 6

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar :

Passo 7

Substituindo de volta na equação geral:
Agora, isolamos :

Passo 8

Exponenciando ambos os lados para resolver para :
Como é positivo, escolhemos o sinal positivo.

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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