Resolva as equações diferenciais abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é assim:
, com a condição inicial
. A matéria que vamos usar aqui é sobre equações diferenciais de primeira ordem, especificamente equações exatas. Vamos precisar verificar se a equação é exata e, se for, encontrar uma função solução que atenda à condição inicial.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da equação. Temos:
Para saber se a equação é exata, verificamos se:
Calculando:
Como as derivadas parciais são iguais, a equação é exata.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a função potencial
tal que:
Integrando
em relação a
:
Onde
é uma função de
.
Passo 4
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Integrando em relação a
:
Podemos ignorar a constante
aqui, pois será absorvida na constante geral.
Passo 5
Então, a função potencial completa é:
Como a equação é exata, a solução geral é
:
Passo 6
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar
:
Passo 7
Substituindo
de volta na equação geral:
Agora, isolamos
:
Passo 8
Exponenciando ambos os lados para resolver para
:
Como
é positivo, escolhemos o sinal positivo.
Resposta
A solução da equação diferencial é: