Resolva as equações diferenciais abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
. Esse tipo de equação é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que ajuda a simplificar a equação para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, identifique os termos da equação. Aqui, temos:
-
é a derivada de em relação a . -
é o termo que multiplica . -
é o termo independente.
A equação tem a forma geral
, onde
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante (
). Ele é calculado usando a fórmula:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando:
Passo 5
A equação agora fica mais simples e pode ser escrita como a derivada de um produto:
Integrando ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Finalmente, resolvemos para
:
Resposta
A solução geral da equação é
, onde
é uma constante.
Exercícios relacionados
Seja
a temperatura no instante
de um corpo imerso em um meio de temperatura constante
. A lei do resfriamento de Newton diz que a taxa de variação de
é diretamente proporcional à diferença
, isto é,
. Considere um corpo aquecido a
é posto em um ambiente a
e sabe-se que em 5 min sua temperatura é de
.
Encontre a expressão de como função de
Encontre a expressão de
Resolva as equações diferenciais abaixo:
No instante
tanque contém
de solução contendo 1 grama de corante por litro. Água pura entra no tanque à razão de
e mistura sai à mesma razão.
Encontre a equação diferencial para a quantidade de corante no tanque em cada instante (note que a taxa de variação de
é igual a quantidade que entra menos a que sai do tanque em cada instante )
Encontre a equação diferencial para a quantidade
Resolva as equações diferenciais abaixo: