Resolva as equações diferenciais abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial: . Esse tipo de equação é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante, que ajuda a simplificar a equação para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, identifique os termos da equação. Aqui, temos:
  • é a derivada de em relação a .
  • é o termo que multiplica .
  • é o termo independente.
A equação tem a forma geral , onde e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante ( ). Ele é calculado usando a fórmula:
Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Simplificando:

Passo 5

A equação agora fica mais simples e pode ser escrita como a derivada de um produto:
Integrando ambos os lados em relação a :
onde é a constante de integração.

Passo 6

Finalmente, resolvemos para :

Resposta

A solução geral da equação é , onde é uma constante.

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Seja a temperatura no instante de um corpo imerso em um meio de temperatura constante . A lei do resfriamento de Newton diz que a taxa de variação de é diretamente proporcional à diferença , isto é, . Considere um corpo aquecido a é posto em um ambiente a e sabe-se que em 5 min sua temperatura é de .
Encontre a expressão de como função de
Resolva as equações diferenciais abaixo:
No instante tanque contém de solução contendo 1 grama de corante por litro. Água pura entra no tanque à razão de e mistura sai à mesma razão.
Encontre a equação diferencial para a quantidade de corante no tanque em cada instante (note que a taxa de variação de é igual a quantidade que entra menos a que sai do tanque em cada instante )
Resolva as equações diferenciais abaixo: