Resolva as equações diferenciais, com as condições iniciais (x=0) :
d yd x-2 y=0 y(0)=2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que você me passou: dydx - 2y = 0, com a condição inicial y(0) = 2. A matéria que estamos usando aqui é de Equações Diferenciais de primeira ordem, especificamente as lineares. Para resolver, vamos precisar usar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a forma da equação diferencial linear de primeira ordem, que é:
dydx + P(x)y = Q(x)
No nosso caso, temos P(x) = -2 e Q(x) = 0.

Passo 3

Agora, vamos calcular o fator integrante, que é dado por:
mu(x) = e^integral P(x) dx
Substituindo P(x) = -2, temos:
mu(x) = e^integral -2 dx = e^-2x

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
e^-2x dydx - 2e^-2x y = 0
Isso simplifica para:
ddx ( e^-2x y ) = 0

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a x, temos:
e^-2x y = C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Resolvendo para y, obtemos:
y = C e^2x

Passo 7

Agora, aplicamos a condição inicial y(0) = 2:
2 = C e^2 cdot 0 Rightarrow 2 = C cdot 1 Rightarrow C = 2

Resposta

Portanto, a solução da equação diferencial é:
y = 2 e^2x

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