Encontre a solução geral das seguintes equações diferenciais:
d^2 yd x^2-4 d yd x+3 y=0

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem aqui:
d^2 yd x^2 - 4 d yd x + 3 y = 0
O conteúdo que vamos usar para resolver isso é Equações Diferenciais Lineares com Coeficientes Constantes. Basicamente, vamos precisar encontrar soluções que satisfazem essa equação usando um método que envolve caracteres especiais chamados de raízes características.

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a solução tem a forma de uma função exponencial, ou seja, algo como , onde é um número que vamos descobrir. Isso é uma técnica comum para resolver esse tipo de equação.

Passo 3

Agora, vamos derivar dydx = r e^rx para encontrar d^2 ydx^2 = r^2 e^rx e :

Passo 4

Substituímos essas derivadas na equação diferencial original:
r^2 e^rx - 4 r e^rx + 3 e^rx = 0
Como r^2 - 4r + 3 = 0 nunca é zero, podemos dividir toda a equação por :

Passo 5

Agora temos uma equação quadrática para resolver:
r^2 - 4r + 3 = 0
Vamos resolver essa equação usando a fórmula de Bhaskara:
r = 4 pm raiz(-4)^2 - 4 cdot 1 cdot 32 cdot 1 = 4 pm raiz16 - 122 = 4 pm 22
Então, as soluções são:
r1 = 4 + 22 = 3
r2 = 4 - 22 = 1

Passo 6

Como encontramos duas raízes reais e distintas ( y(x) = C1 e^3x + C2 e^x e ), a solução geral da equação diferencial é uma combinação linear dessas soluções exponenciais:
Aqui, e são constantes que podem ser determinadas se tivermos condições iniciais.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = C1 e^3x + C2 e^x

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