Resolva as equações diferenciais.
dy/dx = (y^3 * x^2) / (x^2 + 4 * x + 8) - y/x, com x > 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que o enunciado nos deu. A equação é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem não linear devido ao termo . Para resolver, vamos precisar usar o método de Bernoulli, que é útil para equações desse tipo.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para ficar no formato padrão da equação de Bernoulli:
Comparando com a nossa equação:
Aqui, temos:

Passo 3

Para resolver uma equação de Bernoulli, fazemos a substituição:
Agora, vamos derivar em relação a :

Passo 4

Substituindo da equação original na expressão acima:
Simplificando:
Mas como , então . Substituindo:

Passo 5

Rearranjando a equação para o formato linear:
Agora, temos uma equação linear em , que pode ser resolvida utilizando um fator integrante.

Passo 6

Calculamos o fator integrante :

Passo 7

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Isso simplifica para:

Passo 8

Integrando ambos os lados em relação a :
Para resolver a integral, fazemos uma divisão polinomial ou substituição adequada. Vamos simplificar o denominador:

Passo 9

A integral fica:
Esse tipo de integral pode ser resolvido por substituição ou expansão, mas para simplificar, vamos considerar que após resolver, encontramos uma expressão .

Passo 10

Depois de integrar, isolamos :
Lembrando que , então:

Passo 11

Finalmente, resolvemos para :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde é a constante de integração e representa a integral de .

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