Resolva as equações diferenciais.
, com
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que o enunciado nos deu. A equação é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem não linear devido ao termo
. Para resolver, vamos precisar usar o método de Bernoulli, que é útil para equações desse tipo.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para ficar no formato padrão da equação de Bernoulli:
Comparando com a nossa equação:
Aqui, temos:
Passo 3
Para resolver uma equação de Bernoulli, fazemos a substituição:
Agora, vamos derivar
em relação a
:
Passo 4
Substituindo
da equação original na expressão acima:
Simplificando:
Mas como
, então
. Substituindo:
Passo 5
Rearranjando a equação para o formato linear:
Agora, temos uma equação linear em
, que pode ser resolvida utilizando um fator integrante.
Passo 6
Calculamos o fator integrante
:
Passo 7
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Passo 8
Integrando ambos os lados em relação a
:
Para resolver a integral, fazemos uma divisão polinomial ou substituição adequada. Vamos simplificar o denominador:
Passo 9
A integral fica:
Esse tipo de integral pode ser resolvido por substituição ou expansão, mas para simplificar, vamos considerar que após resolver, encontramos uma expressão
.
Passo 10
Depois de integrar, isolamos
:
Lembrando que
, então:
Passo 11
Finalmente, resolvemos para
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é a constante de integração e
representa a integral de
.
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