Resolva os problemas de valor inicial:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial bem maneirinha para resolver:
Essa é uma equação diferencial de primeira ordem e aparentemente não é linear por causa do termo
. Para resolver, vamos precisar usar uma técnica chamada Equação de Bernoulli. Basicamente, a gente vai transformar essa equação num formato que seja mais fácil de resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos deixar
isoladinho. Dividindo ambos os lados por
, temos:
Agora, vamos identificar os termos para aplicar a Equação de Bernoulli, que tem a forma:
Comparando com a nossa equação, vemos que:
Passo 3
A Equação de Bernoulli exige uma substituição para transformar a equação não-linear em uma linear. Vamos usar a substituição:
Agora, precisamos encontrar
. Diferenciando
em relação a
:
Passo 4
Vamos substituir
da nossa equação original na expressão de
que acabamos de encontrar. Da equação original:
Substituindo na expressão de
:
Como
, substituímos:
Passo 5
Agora, temos uma equação linear em
:
Para resolver isso, vamos precisar do fator integrante. O fator integrante (
) é dado por:
Passo 6
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante
:
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada de
:
Passo 7
Integrando ambos os lados em relação a
:
Isso simplifica para:
Vamos resolver a integral do lado direito.
Passo 8
Vamos integrar
. Separando:
A primeira parte é fácil:
Para a segunda parte, usamos integração por partes. Seja:
Então:
Portanto, a integral completa fica:
Simplificando:
Passo 9
Voltando à equação anterior:
Dividindo ambos os lados por
para isolar
:
Lembrando que
, substituímos de volta:
Passo 10
Agora, vamos aplicar a condição inicial
para encontrar a constante
. Substituindo
e
:
Sabendo que
:
Passo 11
Substituindo
de volta na equação de
:
Para encontrar
, precisamos inverter a equação:
Resposta
A solução do problema é:
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