Resolva os problemas de valor inicial:
x y' = y + x y^3 (1 + ln x), x > 0, y(1) = 3.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial bem maneirinha para resolver:
Essa é uma equação diferencial de primeira ordem e aparentemente não é linear por causa do termo . Para resolver, vamos precisar usar uma técnica chamada Equação de Bernoulli. Basicamente, a gente vai transformar essa equação num formato que seja mais fácil de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos deixar isoladinho. Dividindo ambos os lados por x, temos:
Agora, vamos identificar os termos para aplicar a Equação de Bernoulli, que tem a forma:
Comparando com a nossa equação, vemos que:

Passo 3

A Equação de Bernoulli exige uma substituição para transformar a equação não-linear em uma linear. Vamos usar a substituição:
Agora, precisamos encontrar . Diferenciando z em relação a x:

Passo 4

Vamos substituir da nossa equação original na expressão de que acabamos de encontrar. Da equação original:
Substituindo na expressão de :
Como , substituímos:

Passo 5

Agora, temos uma equação linear em z:
Para resolver isso, vamos precisar do fator integrante. O fator integrante ( mu(x)) é dado por:

Passo 6

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante x^2:
Perceba que o lado esquerdo agora é a derivada de :

Passo 7

Integrando ambos os lados em relação a x:
Isso simplifica para:
Vamos resolver a integral do lado direito.

Passo 8

Vamos integrar . Separando:
A primeira parte é fácil:
Para a segunda parte, usamos integração por partes. Seja:
Então:
Portanto, a integral completa fica:
Simplificando:

Passo 9

Voltando à equação anterior:
Dividindo ambos os lados por x^2 para isolar z:
Lembrando que , substituímos de volta:

Passo 10

Agora, vamos aplicar a condição inicial para encontrar a constante C. Substituindo x = 1 e :
Sabendo que :

Passo 11

Substituindo de volta na equação de y^-2:
Para encontrar y, precisamos inverter a equação:

Resposta

A solução do problema é:

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