Resolva os problemas de valor inicial:
y' = (y + 2 y^3 ln(x)) / x, com x > 0 e y(1) = -1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial com condição inicial. A equação que temos é:
O conteúdo que vamos usar aqui é de Equações Diferenciais Bernoulli. Para resolver, vamos precisar transformar a equação em uma forma que a gente consiga lidar, usando substituições apropriadas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para identificar a estrutura Bernoulli. A equação dada é:
Podemos reorganizar isso para ter:
Aqui, vemos que é uma Equação de Bernoulli porque ela tem a forma:
No nosso caso, , , e .

Passo 3

A próxima etapa é fazer uma substituição para transformar a Equação de Bernoulli em uma equação linear. Vamos definir:
Agora, precisamos encontrar . Derivando ambos os lados em relação a :

Passo 4

Substituindo da equação original na expressão acima:
Como , podemos reescrever:
Isso simplifica para:
Agora, temos uma equação linear em .

Passo 5

Vamos resolver essa equação linear usando o Fator Integrante. O fator integrante é dado por:
Multiplicando toda a equação por :
Isso se simplifica para:

Passo 6

Agora, integramos ambos os lados em relação a :
Para resolver a integral à direita, usamos integração por partes. Seja e . Então, e .
Aplicando integração por partes:
Portanto:

Passo 7

Agora, resolvemos para :
Lembrando que , temos:

Passo 8

Aplicamos a condição inicial para encontrar a constante :
Quando , e , então:

Passo 9

Com , a equação fica:
Resolvendo para :
Mas, como , escolhemos o sinal negativo:

Resposta

A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:

Exercícios relacionados

Resolva os problemas de valor inicial:
x y' = y + x y^3 (1 + ln x), x > 0, y(1) = 3.
Resolva as equações diferenciais.
dy/dx = (y^3 * x^2) / (x^2 + 4 * x + 8) - y/x, com x > 0.
Resolva os problemas de valor inicial:
(x^2 - y^2) dx + 2xy dy = 0, com x > 0 e y(1) = 2
Resolva os problemas de valor inicial:
(2y + raiz(x^2 - y^2)) dx - 2x dy = 0, x > 0 ; y(1) = 0