Resolva os problemas de valor inicial:
, com
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial com condição inicial. A equação que temos é:
O conteúdo que vamos usar aqui é de Equações Diferenciais Bernoulli. Para resolver, vamos precisar transformar a equação em uma forma que a gente consiga lidar, usando substituições apropriadas.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para identificar a estrutura Bernoulli. A equação dada é:
Podemos reorganizar isso para ter:
Aqui, vemos que é uma Equação de Bernoulli porque ela tem a forma:
No nosso caso,
,
, e
.
Passo 3
A próxima etapa é fazer uma substituição para transformar a Equação de Bernoulli em uma equação linear. Vamos definir:
Agora, precisamos encontrar
. Derivando ambos os lados em relação a
:
Passo 4
Substituindo
da equação original na expressão acima:
Como
, podemos reescrever:
Isso simplifica para:
Agora, temos uma equação linear em
.
Passo 5
Vamos resolver essa equação linear usando o Fator Integrante. O fator integrante
é dado por:
Multiplicando toda a equação por
:
Isso se simplifica para:
Passo 6
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
Para resolver a integral à direita, usamos integração por partes. Seja
e
. Então,
e
.
Aplicando integração por partes:
Portanto:
Passo 7
Agora, resolvemos para
:
Lembrando que
, temos:
Passo 8
Aplicamos a condição inicial
para encontrar a constante
:
Quando
,
e
, então:
Passo 9
Com
, a equação fica:
Resolvendo para
:
Mas, como
, escolhemos o sinal negativo:
Resposta
A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:
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, com
.
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e
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