Resolva as equações diferenciais.
(x + e^y) dy - dx = 0

Passo 1

Beleza, a gente vai resolver essa equação diferencial: . A matéria que vamos usar aqui é equações diferenciais de primeira ordem, especificamente as equações lineares. Para resolver, vamos precisar reorganizar a equação e aplicar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos deixar a equação mais organizada. A equação dada é:
Podemos reescrever isso como:
Assim, temos .

Passo 3

Agora, vamos identificar que essa é uma equação diferencial linear na forma:
Comparando com a nossa equação , percebemos que podemos rearranjar para:
Aqui, e .

Passo 4

Para resolver essa equação linear, usamos o fator integrante , que é dado por:
Esse fator vai nos ajudar a simplificar a equação.

Passo 5

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante :
Simplificando o lado direito:

Passo 6

O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto :
Integrando ambos os lados em relação a :
onde é a constante de integração.

Passo 7

Finalmente, resolvemos para :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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