Resolva as equações diferenciais.
, com
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial bem interessante:
, onde
. O assunto aqui é equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar usar o método do fator integrante, que ajuda a simplificar a equação e encontrar a solução para
.
Passo 2
Primeiro, vamos deixar a equação na forma padrão das equações diferenciais lineares, que é:
Para isso, dividimos toda a equação por
:
Aqui, identificamos que
e
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante
, que é uma função que vai nos ajudar a simplificar a equação. O fator integrante é dado por:
Vamos calcular essa integral:
Então,
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
Simplificando:
Percebeu? A equação ficou do mesmo jeito, mas agora sabemos que o lado esquerdo é a derivada do produto
. Ou seja:
Passo 5
Vamos integrar ambos os lados em relação a
:
No lado esquerdo, a integral da derivada é só o próprio
:
Agora, precisamos resolver a integral do lado direito.
Passo 6
Para resolver
, vamos usar uma substituição. Seja
, então
ou
.
Reescrevendo a integral:
Passo 7
Agora, a integral
pode ser resolvida por partes. Vamos lá:
Seja
, então
.
Seja
, então
.
Aplicando integração por partes:
Portanto,
Voltando a
:
Passo 8
Substituímos de volta na equação original:
Para encontrar
, dividimos ambos os lados por
:
Simplificando um pouquinho:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: