Resolva as equações diferenciais.
x y' + y = x^3 e^(x^2), com x > 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial bem interessante: , onde . O assunto aqui é equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver isso, vamos precisar usar o método do fator integrante, que ajuda a simplificar a equação e encontrar a solução para .

Passo 2

Primeiro, vamos deixar a equação na forma padrão das equações diferenciais lineares, que é:
Para isso, dividimos toda a equação por :
Aqui, identificamos que e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante , que é uma função que vai nos ajudar a simplificar a equação. O fator integrante é dado por:
Vamos calcular essa integral:
Então,

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :
Simplificando:
Percebeu? A equação ficou do mesmo jeito, mas agora sabemos que o lado esquerdo é a derivada do produto . Ou seja:

Passo 5

Vamos integrar ambos os lados em relação a :
No lado esquerdo, a integral da derivada é só o próprio :
Agora, precisamos resolver a integral do lado direito.

Passo 6

Para resolver , vamos usar uma substituição. Seja , então ou .
Reescrevendo a integral:

Passo 7

Agora, a integral pode ser resolvida por partes. Vamos lá:
Seja , então .
Seja , então .
Aplicando integração por partes:
Portanto,
Voltando a :

Passo 8

Substituímos de volta na equação original:
Para encontrar , dividimos ambos os lados por :
Simplificando um pouquinho:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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