Suponha que um tanque contenha uma mistura de água e sal com um volume inicial 100 litros e 10 gramas de sal e que água pura seja bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 1 litro por minuto. Suponha que a solução bem misturada sai a uma taxa de 2 litros por minuto.
(a) Determine a quantidade de sal no tanque em cada instante , onde é contado a partir do início do processo.

Passo 1

Então, vamos lá! A questão fala sobre um tanque que tem uma mistura de água e sal. Inicialmente, temos 100 litros de mistura com 10 gramas de sal. A água pura está entrando no tanque a uma taxa de 1 litro por minuto, enquanto a mistura está saindo a 2 litros por minuto. O que precisamos encontrar é quanto sal terá no tanque em cada instante de tempo .

Passo 2

Primeiro, vamos pensar no que está acontecendo com o volume de líquido no tanque. Como estamos adicionando 1 litro de água e removendo 2 litros de mistura por minuto, o volume total no tanque está diminuindo. Vamos calcular o volume em função do tempo :
í
Então, o volume no tanque a cada instante é litros.

Passo 3

Agora, vamos pensar na quantidade de sal no tanque, que vamos chamar de . A água pura que entra não traz sal, então o sal só sai com a mistura que está saindo. A concentração de sal na mistura é gramas por litro. Como a mistura está saindo a 2 litros por minuto, a quantidade de sal que sai por minuto é:
í

Passo 4

Para encontrar como o sal muda com o tempo, vamos montar uma equação diferencial. A taxa de variação do sal é igual à taxa de entrada de sal menos a taxa de saída:
Isso nos dá a equação:

Passo 5

Essa é uma equação diferencial separável. Vamos separar as variáveis e :
Agora, integramos os dois lados:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Vamos resolver para :
Vamos chamar de , então:

Passo 7

Agora, usamos a condição inicial para encontrar . Sabemos que em , gramas:

Passo 8

Substituímos de volta na equação de :

Resposta

A quantidade de sal no tanque em cada instante é dada por:

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Resolva as equações fazendo as mudanças de variáveis sugeridas:
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Resolva as equações diferenciais.
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