Suponha que um tanque contenha uma mistura de água e sal com um volume inicial 100 litros e 10 gramas de sal e que água pura seja bombeada para dentro do tanque a uma taxa de 1 litro por minuto. Suponha que a solução bem misturada sai a uma taxa de 2 litros por minuto.
(a) Determine a quantidade de sal no tanque em cada instante
, onde
é contado a partir do início do processo.
(a) Determine a quantidade de sal no tanque em cada instante
Passo 1
Então, vamos lá! A questão fala sobre um tanque que tem uma mistura de água e sal. Inicialmente, temos 100 litros de mistura com 10 gramas de sal. A água pura está entrando no tanque a uma taxa de 1 litro por minuto, enquanto a mistura está saindo a 2 litros por minuto. O que precisamos encontrar é quanto sal terá no tanque em cada instante de tempo
.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar no que está acontecendo com o volume de líquido no tanque. Como estamos adicionando 1 litro de água e removendo 2 litros de mistura por minuto, o volume total no tanque está diminuindo. Vamos calcular o volume em função do tempo
:
Então, o volume no tanque a cada instante
é
litros.
Passo 3
Agora, vamos pensar na quantidade de sal no tanque, que vamos chamar de
. A água pura que entra não traz sal, então o sal só sai com a mistura que está saindo. A concentração de sal na mistura é
gramas por litro. Como a mistura está saindo a 2 litros por minuto, a quantidade de sal que sai por minuto é:
Passo 4
Para encontrar como o sal muda com o tempo, vamos montar uma equação diferencial. A taxa de variação do sal
é igual à taxa de entrada de sal menos a taxa de saída:
Isso nos dá a equação:
Passo 5
Essa é uma equação diferencial separável. Vamos separar as variáveis
e
:
Agora, integramos os dois lados:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Vamos resolver para
:
Vamos chamar
de
, então:
Passo 7
Agora, usamos a condição inicial para encontrar
. Sabemos que em
,
gramas:
Passo 8
Substituímos
de volta na equação de
:
Resposta
A quantidade de sal no tanque em cada instante
é dada por:
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Resolva as equações fazendo as mudanças de variáveis sugeridas:
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Resolva as equações diferenciais.
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