Teste a série quanto a convergência ou divergência. sumn=1^infty 34 n-5

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente testar se a série converge ou diverge. Isso está dentro do conteúdo de séries infinitas e testes de convergência. Para resolver, vamos precisar conhecer alguns testes básicos como o teste da divergência e o teste da comparação.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Divergência. Esse teste diz que se o limite dos termos gerais da série, quando vai pra infinito, não for zero, a série diverge. Ou seja, se , então a série não converge.

Passo 3

Vamos calcular esse limite:
limn to infty 34n - 5
À medida que limn to infty 34n - 5 = 0 cresce, também cresce sem limite, então o denominador vai infinito. Isso faz com que a fração toda vá pra zero:
Como o limite é zero, o teste da divergência não nos dá uma resposta definitiva. Precisamos usar outro teste.

Passo 4

Vamos usar o Teste da Comparação agora. Observamos que para grandes valores de sumn=1^infty 1n , o termo é aproximadamente igual a . Então, podemos comparar nossa série com uma série p conhecida:
Essa é a série harmônica, que sabemos que diverge.

Passo 5

Vamos comparar os termos:
34n - 5 >= 34n = 34 cdot 1n
Como é uma constante vezes a série harmônica, que diverge, e nossos termos são maiores ou iguais a isso, pela Regra da Comparação, nossa série também diverge.

Resposta

A série diverge.

Exercícios relacionados