Teste a série quanto a convergência ou divergência.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente testar se a série
converge ou diverge. Isso está dentro do conteúdo de séries infinitas e testes de convergência. Para resolver, vamos precisar conhecer alguns testes básicos como o teste da divergência e o teste da comparação.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o Teste da Divergência. Esse teste diz que se o limite dos termos gerais da série, quando
vai pra infinito, não for zero, a série diverge. Ou seja, se
, então a série não converge.
Passo 3
Vamos calcular esse limite:
À medida que
cresce,
também cresce sem limite, então o denominador vai infinito. Isso faz com que a fração toda vá pra zero:
Como o limite é zero, o teste da divergência não nos dá uma resposta definitiva. Precisamos usar outro teste.
Passo 4
Vamos usar o Teste da Comparação agora. Observamos que para grandes valores de
, o termo
é aproximadamente igual a
. Então, podemos comparar nossa série com uma série p conhecida:
Essa é a série harmônica, que sabemos que diverge.
Passo 5
Vamos comparar os termos:
Como
é uma constante vezes a série harmônica, que diverge, e nossos termos são maiores ou iguais a isso, pela Regra da Comparação, nossa série também diverge.
Resposta
A série
diverge.