Verificar se as seguintes limites existem

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos verificar se o limite da função existe quando se aproxima de . Aqui, estamos lidando com limites de funções de duas variáveis, que é um conceito importante no cálculo multivariável. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular limites em funções com mais de uma variável e verificar se o resultado é consistente independentemente do caminho que toma para chegar ao ponto desejado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa calcular o limite de uma função de duas variáveis. Diferente de funções de uma variável, onde temos apenas um caminho para se aproximar de um ponto, em funções de duas variáveis podemos nos aproximar pelo infinito de caminhos diferentes (reta, curva, etc.). Para que o limite exista, o valor da função deve ser o mesmo independente do caminho escolhido para se aproximar do ponto em questão.

Passo 3

Agora, vamos analisar a função dada: . Queremos verificar o limite dessa função quando se aproxima de . Parece que há uma pequena confusão na notação do ponto para o qual estamos nos aproximando. Vamos assumir que queremos calcular o limite quando se aproxima de 4, ou seja, , mantendo fixo.

Passo 4

Vamos tentar calcular o limite diretamente substituindo na função:
Agora, essa é uma função de uma variável ( ) e podemos calcular o limite conforme se aproxima de algum valor específico. Porém, como não foi especificado um valor para , vamos considerar que também se aproxima de 4, ou seja, .
Substituindo :

Passo 5

Como conseguimos substituir diretamente e obter um valor definido (0) sem encontrar indeterminações, podemos concluir que o limite existe e é igual a 0.

Resposta

O limite existe e é igual a 0.

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