Verificar se as funções dadas são contínuas nos pontos indicados: f(x, y) = { (x^2 - y^2) / (x^2 + y^2), se (x, y) ≠ (0, 0); 0, se (x, y) = (0, 0) }

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nessa função que a gente tem aqui:
A questão quer saber se essa função é contínua no ponto . Para isso, vamos usar o conceito de limite. Precisamos verificar se o limite de quando se aproxima de é igual ao valor da função nesse ponto, que é 0.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é continuidade. Uma função é contínua num ponto se o limite quando nos aproximamos desse ponto é igual ao valor da função naquela posição. Ou seja:
No nosso caso, , então precisamos ver se o limite também é 0.

Passo 3

Para calcular o limite, vamos analisar a função em diferentes caminhos que chegam ao ponto . Se o limite for o mesmo em todos os caminhos, então o limite existe e é igual a esse valor. Se não, o limite não existe.

Passo 4

Vamos começar pelo caminho mais simples: quando . Substituindo na função:
Então, ao nos aproximarmos de pelo eixo , o limite é 1.

Passo 5

Agora, vamos verificar outro caminho: quando . Substituindo na função:
Então, ao nos aproximarmos de pela linha , o limite é 0.

Passo 6

Observamos que o limite depende do caminho que escolhemos para nos aproximarmos de . Pelo eixo , o limite é 1, enquanto pela linha , é 0. Como os limites são diferentes, isso significa que o limite geral não existe.

Resposta

Como o limite de quando se aproxima de não existe, a função não é contínua no ponto .

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