Verificar se as funções dadas são contínuas nos pontos indicados:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nessa função que a gente tem aqui:
A questão quer saber se essa função é contínua no ponto
. Para isso, vamos usar o conceito de limite. Precisamos verificar se o limite de
quando
se aproxima de
é igual ao valor da função nesse ponto, que é 0.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é continuidade. Uma função é contínua num ponto se o limite quando nos aproximamos desse ponto é igual ao valor da função naquela posição. Ou seja:
No nosso caso,
, então precisamos ver se o limite também é 0.
Passo 3
Para calcular o limite, vamos analisar a função em diferentes caminhos que chegam ao ponto
. Se o limite for o mesmo em todos os caminhos, então o limite existe e é igual a esse valor. Se não, o limite não existe.
Passo 4
Vamos começar pelo caminho mais simples: quando
. Substituindo na função:
Então, ao nos aproximarmos de
pelo eixo
, o limite é 1.
Passo 5
Agora, vamos verificar outro caminho: quando
. Substituindo na função:
Então, ao nos aproximarmos de
pela linha
, o limite é 0.
Passo 6
Observamos que o limite depende do caminho que escolhemos para nos aproximarmos de
. Pelo eixo
, o limite é 1, enquanto pela linha
, é 0. Como os limites são diferentes, isso significa que o limite geral não existe.
Resposta
Como o limite de
quando
se aproxima de
não existe, a função não é contínua no ponto
.
Exercícios relacionados
Verificar se as seguintes limites existem
Calcular o valor de a para que a função dada seja contínua em ( 0,0 ):
Resolva as equações diferenciais lineares de primeira ordem (indicando o intervalo onde elas são válidas) e, quando for o caso, os problemas de valor inicial abaixo:
Determine uma fórmula para
nas funções
e
indicadas.
© e
;
©