Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma equação diferencial do tipo . Isso significa que a gente precisa encontrar uma função cuja segunda derivada mais quatro vezes ela mesma seja igual a três vezes o seno de . Para resolver isso, vamos precisar entender como resolver equações diferenciais lineares homogêneas e como encontrar uma solução particular para a parte não homogênea da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, . Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A gente começa encontrando a equação característica associada, que é . Resolvendo isso:
Como as raízes são complexas, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui, e são constantes que a gente determina com condições iniciais, se tiver.
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Como o lado direito da equação é , que já está na forma de uma função trigonométrica, a gente tenta uma solução particular na mesma forma:
Vamos calcular as derivadas dessa hipótese:
Substituindo e na equação original:
Simplificando:
Vemos que a solução que tentamos não funciona porque os termos se cancelam. Isso acontece porque a função que estamos tentando é solução da homogênea. Para contornar isso, a gente multiplica nossa hipótese por :
Calculando as derivadas novamente:
Substituindo na equação original e igualando os coeficientes, vamos encontrar os valores de e :
Após simplificar, encontramos:
Então, a solução particular é:
Passo 4
Agora que temos a solução da parte homogênea e a solução particular , a solução geral da equação diferencial é a soma das duas: