Resolva as equações diferenciais:

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma equação diferencial do tipo . Isso faz parte do estudo das equações diferenciais lineares não homogêneas. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea e de uma solução particular da equação não homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Para isso, encontramos as raízes da equação característica: , que dá . Isso significa que a solução geral da homogênea é:
onde e são constantes que determinamos com condições iniciais.

Passo 3

Agora, precisamos achar uma solução particular para a equação original . Como o lado direito é , vamos supor uma solução do tipo:
Aqui, , , e são coeficientes que vamos determinar.

Passo 4

Vamos derivar para encontrar e :

Passo 5

Substituindo e na equação original:
Simplificando, temos:
Isso reduz para , o que nos leva a igualar os coeficientes:
Resolvendo, encontramos , .

Passo 6

Substituindo e de volta na nossa suposição para :
Como os termos com e já estão na solução homogênea, ajustamos para evitar redundância. Portanto, colocamos um fator x extra:
Substituindo novamente na equação original e resolvendo, encontramos e .

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes arbitrárias.

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Considere
(a) Calcule usando 4.1.