Resolva as equações diferenciais pelo método de coeficientes a determinar.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
usando o método dos coeficientes a determinar. Isso faz parte do estudo de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar tanto a solução geral da equação homogênea associada quanto uma solução particular para a equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é
. Essa equação tem coeficientes constantes, então usamos a equação característica para encontrar as soluções.
A equação característica é obtida substituindo
na equação homogênea:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são complexas:
e
.
Passo 4
Com raízes complexas da forma
, a solução geral da equação homogênea é:
Substituindo
e
, temos:
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. Como o lado direito é
, usamos uma solução particular da forma:
Onde
e
são coeficientes que precisamos determinar.
Passo 6
Vamos derivar
para encontrar
e
:
Passo 7
Agora, substituímos
,
e
na equação diferencial original:
Substituindo as expressões encontradas:
Passo 8
Vamos simplificar a equação:
Agrupando os termos de
e
:
Simplificando:
Passo 9
Para que a igualdade seja válida para todo
, os coeficientes de
e
devem ser iguais nos dois lados da equação. Assim, temos:
Passo 10
Agora que encontramos
e
, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.
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Derive:
.
Determine a derivada:
.
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.