Resolva as equações diferenciais pelo método de coeficientes a determinar.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial usando o método dos coeficientes a determinar. Isso faz parte do estudo de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar encontrar tanto a solução geral da equação homogênea associada quanto uma solução particular para a equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é . Essa equação tem coeficientes constantes, então usamos a equação característica para encontrar as soluções.
A equação característica é obtida substituindo na equação homogênea:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de . Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são complexas: e .

Passo 4

Com raízes complexas da forma , a solução geral da equação homogênea é:
Substituindo e , temos:

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Como o lado direito é , usamos uma solução particular da forma:
Onde e são coeficientes que precisamos determinar.

Passo 6

Vamos derivar para encontrar e :

Passo 7

Agora, substituímos , e na equação diferencial original:
Substituindo as expressões encontradas:

Passo 8

Vamos simplificar a equação:
Agrupando os termos de e :
Simplificando:

Passo 9

Para que a igualdade seja válida para todo , os coeficientes de e devem ser iguais nos dois lados da equação. Assim, temos:

Passo 10

Agora que encontramos e , a solução particular é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

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.
Determine a derivada:
.
Um time de beisebol joga em um estádio com capacidade para 55000 espectadores. Com o preço do ingresso a , a média de público tem sido de 27000 . Observa-se que quando o valor do ingresso diminui em , a média de público sobe 3000 . Qual deve ser o preço dos ingressos para maximizar a receita?
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.