Resolva as equações diferenciais pelo Método dos Coeficientes Indeterminados.
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial usando o Método dos Coeficientes Indeterminados. Esse método é legal porque ajuda a encontrar soluções particulares para equações diferenciais lineares quando o termo da direita é uma função que a gente já sabe como lidar, tipo exponenciais, senos, cossenos, etc. Vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e depois uma solução particular para a equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é . Para isso, achamos a equação característica substituindo por , o que nos dá:
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de .
Passo 3
Resolvendo a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são complexas: e .
Passo 4
Como as raízes são complexas, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui, e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se houver.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Como o termo da direita é um exponencial , vamos supor que a solução particular tem a forma:
Onde é a constante que vamos determinar.
Passo 6
Vamos derivar :
Agora, substituímos , e na equação diferencial:
Simplificando:
Passo 7
Agora, podemos simplificar dividindo ambos os lados por :
Então, a solução particular é:
Passo 8
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular :