Resolva as equações diferenciais pelo Método dos Coeficientes Indeterminados.
(d) y'' - 6y' + 25y = 64e^(-x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial usando o Método dos Coeficientes Indeterminados. Esse método é legal porque ajuda a encontrar soluções particulares para equações diferenciais lineares quando o termo da direita é uma função que a gente já sabe como lidar, tipo exponenciais, senos, cossenos, etc. Vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea associada e depois uma solução particular para a equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é . Para isso, achamos a equação característica substituindo por , o que nos dá:
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de .

Passo 3

Resolvendo a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são complexas: e .

Passo 4

Como as raízes são complexas, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui, e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais, se houver.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Como o termo da direita é um exponencial , vamos supor que a solução particular tem a forma:
Onde é a constante que vamos determinar.

Passo 6

Vamos derivar :
Agora, substituímos , e na equação diferencial:
Simplificando:

Passo 7

Agora, podemos simplificar dividindo ambos os lados por :
Então, a solução particular é:

Passo 8

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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Calcule os limites a seguir:
(b) lim x 2 x^2-1x^2+4 x+3
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