Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem: , com as condições iniciais e . O conteúdo que vamos usar aqui é de equações diferenciais lineares e métodos de solução para equações não homogêneas. Vamos precisar achar a solução geral da equação, que é a soma da solução da parte homogênea e uma solução particular da parte não homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Isso significa que ignoramos o lado direito da equação e resolvemos apenas .
A solução dessa equação é baseada nas raízes da equação característica . Resolvendo, temos . Isso nos dá uma solução geral da parte homogênea:
Onde e são constantes que vamos determinar mais tarde.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa .
Como o lado direito é , que é , vamos tentar uma solu��ão na forma , onde é uma constante a ser encontrada.
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Sabemos que , então:
Isso não resolve de forma direta, então precisamos usar o método dos coeficientes indeterminados ou variação de parâmetros. Para simplificar, vamos usar a variação de parâmetros.
A solução particular usando variação de parâmetros é:
Onde e são funções que determinaremos. Após os cálculos, obtemos:
Calculando as integrais:
Substituindo de volta:
Então, nossa solução particular é:
Passo 4
Agora, juntamos a solução homogênea com a solução particular para obter a solução geral:
Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar e .